WWW.NET.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет ресурсы
 

Pages:   || 2 | 3 | 4 |

«СОДЕРЖАНИЕ Предисловие & I. Задачи и приемы. Глава 1. Элементарная теория чисел 10 § 1. Задачи о целых числах. Делимость и простота 10 ...»

-- [ Страница 1 ] --

УДК 511.212+511.331+511.334+511.5+511.6.+511.9+512.742+5I2.743

"ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ЧИСЕЛ

Я). Я. Мант, А. А. Панчишкин

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие &

I. Задачи и приемы.

Глава 1. Элементарная теория чисел 10

§ 1. Задачи о целых числах. Делимость и простота 10

§ 2. Диофантовы уравнения первой и второй степени.... 25* § 3. Кубические уравнения,.. 42 § 4. Задачи о континууме: приближения и непрерывные дроби. 53Глава 2. Избранные современные задачи элементарной теории чисел 5-^ § 1. Разложение на множители и асимметричное шифрование.. 59»

§ 2. Достоверные тесты простоты........... 63Разложение больших чисел на множители 7% § 4. Диофантовы приближения и иррациональность (3) 83»

II. Идеи и теории.

Глава 1. Индукция и рекурсия "О § 1.

Элементарная теория чисел с точки зрения логики... 90 § 2. Диофантовы множества 9.2 § 3. Частично рекурсивные функции и перечислимые множества. 97 § 4. Диофантовы множества и алгоритмическая неразрешимость. 106Глава 2. Арифметика алгебраических чисел 107 § 1. Алгебраические числа: реализации и геометрия 107 § 2. Разложение простых идеалов, дедекиндовы кольца и норми­ рования 11$ § 3. Локальные и глобальные методы 126Теория полей классов 146;

§ 5. Группа Галуа в арифметических задачах 15$ Глава 3. Арифметика алгебраических многообразий 17Q § 1. Арифметические многообразия: схемы конечного типа над коль­ цом целых чисел. 176»



§ 2. Геометрические методы изучения диофантовых уравнений. 186 § 3. Основные геометрические классы диофантовых уравнений и.-, систем ^^ в LOW § 4. Диофантовы уравнения и представления Галуа.

§ 5. Теорема Фальтингса и проблемы конечности в диофантовой геометрии ^JL Глава 4. Дзета-функции и модулярные формы....... *gv § 1. Дзета-функции арифметических схем....... *№ § 2. L-функции, теория Тэйта и явные формулы *° § 3. Модулярные формы и эйлеровы произведения *•* § 4. Модулярные формы и представления Галуа..... ^(Яг § 5. Автоморфные формы и программа Ленглендса ^щ.

Литература *** ' 5.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Теория чисел среди математических дисциплин выделяется скорее психологической установкой, чем предметом «целые числа». Более сильное утверждение было бы неверным: в тео­ ретико-числовых работах исследуются и алгебраические, и трансцендентные числа; или, вообще, не числа, а скажем, анали­ тические функции очень специального вида {ряды Дирихле, модулярные формы); или геометрические объекты {решетки, схемы над Z). Принадлежность результатов статьи к теории чисел определяется принятой автором системой ценностей: ес­ ли арифметика в нее не входит, то и статья не теоретико-чис­ ловая, хотя бы в ней шла речь исключительно о сравнениях и классах вычетов; если же входит, то что угодно — динамичес­ кие системы или теория гомотопий — может оказаться мощ­ ным теоретико-числовым инструментом. Только по этой причи­ не комбинаторика и теория рекурсивных функций обычно не считаются теоретико-числовыми дисциплинами, а теория моду­ лярных форм считается.

В этом обЗоре мы будем понимать теорию чисел широко.

К тому есть серьезные основания.

Прежде всего, целые числа образуют первичную материю математики вообще (точнее, одну из двух первичных материй;

Ьторая — это «фигуры», геометрия). История элементарной теории чисел поэтому столь е длинна, как история всей мате­ матики, а историю современной математики можно было бы условно начинать с того времени, когда «числа» и «фигуры»

прочно объединились в идее координатизации, которая по за­ мечанию И. Р. Шафаревича лежит в основе алгебры.

Далее, целые числа как универсум идеи дискретного яв­ ляются также универсумом любых логических конструкций, в том числе любых математических рассуждений, оформленных зкак таковые. Мы подчеркиваем, что математика как акт ин­ дивидуального творчества, конечно, к логике не сводится, но в коллективном сознании нашей эпохи существует в виде по­ тенциально завершимой огромной и точной логической кон­ струкции. Если этот образ постоянно размывается его, так сказать, нежизненностью, то и восстанавливающие его тен­ денции сильны; сейчас к ним добавилась компьютерная реаль­ ность с ее чрезвычайно жесткими требованиями к логической структуре математической продукции в виде программного обеспечения.

Пониманием того, что свойства целых чисел суть свойства дискретного вообще и, стало быть, свойства мира математи­ ческих рассуждений, в частности, мы обязаны математике двадцатого века, в первую очередь Гёделю. При желании, это донимание может быть оформлено внутри математики в виде теоремы о том, что задача доказуемости внутри любой формальной системы равносильна задаче о разрешимости в целых числах подходящего диофантова уравнения (см. ниже). Этот парадоксальный факт — свидетельство того, что теория чисел, будучи малой частью математического знания, в потенции все это знание содержит. Если метафора Гаусса «Теория чисел — царица математики» нуждается в оправдании, его можно усмотреть в цитированной теореме.

Если бы мы поставили перед собой (неразрешимую) зада­ чу дать очерк теории чисел в целом, то, следуя довольно тра­ диционным принципам классификации, мы могли бы разделить его примерно на следующие части:

1. Элементарная теория чисел.

2. Арифметика алгебраических чисел.

3. Теоретико-числовая структура континуума (приближения и геометрия чисел).

4. Аналитическая теория чисел.

5. Алгебро-геометрические методы в теории диофантовых уравнений.

6. Разное «мусорный ящик».

Мы, однако, предпочли другую систему акцентов и разде­ лили этот материал, опустив (по незнанию или недостатку мес­ та) огромное количество важных результатов, на следующие две крупные части.

I. Задачи и приемы Отбирая материал для этой части, мы исходили из следую­ щего.

В теории чисел, как ни в какой другой области математики, велика роль изобретательства, математического остроумия, ко­ торое может проявить молодой человек с, минимумом знаний или профессионал с иной подготовкой. Элементарных задач, до сих пор не решенных, или полурешенных, очень много. Тео­ ретико-числовое воспитание — это воспитание вкуса; никто не может сказать заранее, что проблема о дружественных чис­ лах— плохая задача, а гипотеза Ферма — хорошая, но за нее нельзя браться голыми руками. В элементарной теории чисел накоплен набор поставленных и решенных классиками задач, впоследствии выросших в теоремы, и приемов работы, впослед­ ствии ставших большими теориями. Более того, этот набор по­ полняется, хотя и реже, чем хотелось бы: пример тому — дока­ зательство иррациональности (3) по Апери. Знакомство с таким набором, вероятно, полезно любому профессионалу.

Чтобы не ограничиваться очень давно известными резуль­ татами, мы подчеркнуто внимательны к алгоритмической сторо­ не дела, а также к таким современным приложениям теории чи­ сел, как методы асимметричного кодирования. Вообще, теорети­ ко-числовые методы обработки информации, ориентированные на компьютерную математику (например, быстрое преобразова­ ние Фурье), —это область, в которой классическая элементар­ ная теория чисел молодеет и приобретает новое дыхание.

II. Идеи и теории Здесь мы хотели изложить последующее состояние ряда тео­ ретико-числовых концепций, когда частные приемы и задачи систематизируются, аксиоматизируются и попадают в моногра­ фии и учебники повышенного типа.

Элементарная теория чисел с такой точки зрения состоит из всех теорем, которые можно вывести из аксиом Пеано, самым сильным средством в которой является аксиома индукции. В та­ кой формулировке она приобретает математический вкус и дол­ го развивается как часть математической логики — теория ре­ курсивных функций. С доказательством замечательной теоремы Матиясевича в ней выделился законченными теоретико-числовой фрагмент —теория диофантовых множеств, — который достоин завершать любой курс элементарной теории чисел.

Диофантовым множеством называется любое подмножество натуральных чисел, которое совпадает с проекцией на одну из осей множества целых решений диофантова уравнения от не­ скольких переменных. Теорема.Матиясевича утверждает, что любое множество, порождаемое алгоритмом (на техническом языке, перечислимое), диофантово. В частности, таково множе­ ство номеров доказуемых теорем любой формальной системы, скажем, всей аксиоматизированной математики.





Следующая крупная глава арифметики связана с расшире­ нием области целых чисел до области целых алгебраических чисел. Последняя не является конечно порожденным кольцом, и сходство с арифметикой Z сохраняют лишь ее подкольца, со­ стоящие из целых чисел конечных расширений Q. Исторически необходимость расширения Z была вызвана прямыми арифме­ тическими нуждами, скажем, для исследования уравнения Фер­ ма методом спуска очень полезна теория делимости в кольце, порожденном корнями из единицы. Но постепенно на первый план выдвигалось принципиально новое обстоятельство — су­ ществование фундаментальной группы симметрии теории чисел, группы Галуа поля всех алгебраических чисел Gal(Q/Q) и открытие того, что самая важная арифметика закодирована в ее структуре. Вероятно, Гаусс был первым, кто ясно донял это.

Уже в его юношеской работе о построении правильных много­ угольников подчеркнуто, что возможность построения циркулем и линейкой зависит не от видимой геометрической симметрии задачи, а от глубоко скрытой симметрии Галуа. Его последую­ щее глубокое обдумывание квадратичного закона взаимности (восемь доказательств!) показывает, что он провидел его истин­ ную роль. К сожалению, в современных курсах злементарной

В:

теории чисел обычно не объясняют, почему квадратичный закон взаимности есть нечто большее, чем красивый курьез. Суть же дела состоит в том, что простые числа, традиционный материал арифметики, имеют второе, скрытое воплощение в виде элемен­ тов Фробениуса в группе Галуа. Как таковые, они действуют в качестве симметрии на алгебраические числа, и понимание это­ го действия кодирует много больше теоретико-числовых фактов»

чем обычные сведения о распределении простых чисел в Z.

Следующие две главы этой части обзора посвящены алгеб­ раической геометрии, дзета-функциям схем над целыми числа­ ми и модулярным формам. Три эти дисциплины, тесно связан­ ные, доставляют основной арсенал известных технических средств исследования диофантовых уравнений.

Для геометра алгебраическое многообразие есть множество всех решений полиномиальной системы уравнений, скажем, над комплексными числами. У него есть целый ряд инвариантов»

прежде всего топологических: размерность, числа Бетти; далее»

аналитических: геометрический род, наличие групповой струк­ туры и т. п. Важнейший принцип состоит в том, что эти инва­ рианты определяют качественные черты соответствующей диофантовой задачи: может ли система уравнений иметь беско­ нечное множество решений, как оно велико, какими.

алгоритмами можно изучать его структуру. Это лишь принцип»

а не теорема; но его конкретные воплощения принадлежат к самым важным достижениям теории чисел этого века: програм­ ма А. Вейля и ее реализация Гротендиком и Делинем, дока­ зательство гипотезы Морделла Фальтингсом.

Дзета-функции — это аналитическая техника для превраще­ ния качественных утверждений в количественные. Самым прин­ ципиальным средством в этой технике являются «явные форму­ лы», восходящие к Риману, который в своем знаменитом мемуаре открыл третье (исторически второе) лицо простых чи­ сел — нули дзеты. Двойственность, связывающая нули различ­ ных дзета-функций с решениями диофантовых уравнений над конечными и алгебраическими полями, находится в центре вни­ мания современной арифметики.

Модулярные формы со времен Эйлера и Якоби доставляли красивые и загадочные теоретико-числовые результаты; одно только сравнение коэффициентов тэта-ряда и его разложения в линейную комбинацию рядов Эйзенштейна и параболических форм позволяет получить массу замечательных тождеств.

В наше время накапливаются свидетельства в пользу того, что модулярные формы дают также ключ к аналитическим свой­ ствам дзета-функций, без чего невозможно их применение к теории чисел.

Материал, заслуживающий включения в эту, центральную часть обзора, огромен, и мы слишком многое обошли молча­ нием или упомянули скороговоркой. Мы опустили также классические методы, многократно изложенные в монографиях, та­ кие, как круговой метод Харди—Литлвуда и метод тригономет­ рических сумм Виноградова, в надежде, что они найдут отра­ жение в других статьях в общем контексте аналитических ме­ тодов теории чисел. Мы едва затронули вопросы, связанные с диофантовыми приближениями и трансцендентными числами, в частности, знаменитые методы Гельфонда—Бейкера и Гельфонда—Шнейдера.

В завершающих разделах обзора приведены гипотезы и ана­ логии, указывающие на роль в теоретико-числовом мышлении некоторых общих принципов, которые иногда предопределяют развитие теории на десятилетия вперед. Мы не хотели бы, что­ бы при слове «гипотеза» в этом контексте читатель представ­ лял себе конкретную задачу, вроде гипотезы Гольдбаха о пред­ ставлении четного числа в виде суммы двух простых. Поэтому мы выбрали в качестве иллюстраций современную судьбу клас­ сических аналогий между числами и функциями, а также крат­ кое описание программы Ленглендса, которая имеет целью про­ никновение в структуру группы Галуа поля алгебраических чи­ сел и завязывает в сложный узел гипотетические свойства представлений этой группы, дзета-функции и модулярные (автоморфные) формы.

Мы используем стандартную систему ссылок внутри книги.

–  –  –

§ 1. Задачи о целых числах- Делимость и простота

1.1. Системы счисления. Запись натурального числа п по ос­ нованию т, т= (dk-idk-2.--dido)m, означает что n=dh-\mh-~l+ +4_2/пА~2+... +^о, где di —цифры по основанию т (целые числа от 0 до м— I). Число цифр, которое требуется для запи­ си числа /г по основанию га, равно k = [logmn] + l =~[logtt/logm]+l, где logx обозначает натуральный логарифм числа х 0. Удоб­ ный способ выполнения операций сложения и умножения над натуральными числами, применяемый в компьютерах, состоит в использовании записи натуральных чисел по основанию т—2.

Двоичная цифра (то есть 0 или 1) называется «бит» (англий­ ское «bit» — это сокращение от «binary digit»). Анализ школь­ ных способов сложения и умножения натуральных чисел «в «столбик» показывает, что для сложения двух чисел, записан­ ных с помощью k и / бит, l^Jz, требуется k булевых операций (бит-операций), состоящих в сложении соответствующих цифр с запоминанием и переносом в следующий разряд, в то время как для умножения этих чисел нужно не более чем 2kl бит-опе­ раций {269], [274]. Число бит-операций характеризует в основ­ ном время, которое затрачивается компьютером для выполне­ ния этих действий. Любопытно, что существует быстрый метод для умножения двух чисел, записанных с помощью ^.k бит, ко­ торый требует О (k log k log log k) бит-операций вместо О (k2) при умножении в столбик [269]. Время, которое требуется для перехода от двоичной записи числа п к записи по основанию tn, легко оценивается величиной 0(k2) = 0 ( l o g 2 n ), поскольку для этого требуется 0(k) делений с остатком, для каждого из ко­ торых нужно 0(Ы) бит-операций (при делении в столбик), где I — число бит для записи числа т (например, 1=4 для т = 1 0, так как 1 0 = (Ю10) 2 ).

Указанные способы сложения, умножения, деления с остат­ ком натуральных чисел, а также перехода от записи по одному основанию к записи по другому основанию, являются примера­ ми алгоритмов, то есть процедур для проведения вычислений, явно описанных шаг за шагом [215], [72], [75]. Полиномиальным алгоритмом мы будем называть такой алгоритм для проведения вычислений с натуральными числами щ, щ,..., пГу записан­ ными с помощью ku &2, • • •, К бит, что число требуемых для

•его выполнения бит-операций оценивается величиной 0(kdl...

„..kdf) (для целых чисел du d%..., dr). В приведенных при­ мерах алгоритмы являются полиномиальными, см. [274], 72], [269], [368].

1.2. Простые и составные числа. Два факта, которые лежат в основании теории чисел, безусловно, таковы: а) каждое целое число п 1 допускает единственное представление в виде' n=pVp%% - • • ра/, где рг... рГ — простые числа, 2* О — целые числа (основная теорема арифметики), б) простых чисел бесконечно много. Прежде чем практически находить такое разложение для заданного числа /г, необходимо уметь отли­ чить простое число от составного. Наиболее древний алгоритм отделения простых чисел от составных — это решето Эратосфена (примерно 274 г. до н. э.). Если п — простое число, то этот алгоритм дает также и все простые числа, меньшие /г, а для составного п позволяет установить наименьший простой дели­ тель [20], [274], хотя работает медленно: число операций в об­ щем случае я / 2, то есть экспоненциально зависит от длины записи числа п. Бесконечность числа простых чисел была не­ много раньше установлена Евклидом (около 300 г. до н. э.):

если бы множество простых чисел было конечным, то, умножив все эти числа друг на друга и прибавив к результату 1, мы получили бы число, не делящееся ни на Одно простое число, а это невозможно. Другое доказательство этого факта (по Эйле­ ру) состоит в рассмотрении произведения по простым числам р:

–  –  –

2 /г, 1 который, как известно, расходится, что приводит к протиЛ----1 воречию* Более быстрый способ распознавания простоты числа заме­ тил Фибоначчи (1202 г.): для этого достаточно разделить п на все натуральные числа [Уя]([20], [125], [251]) и число опера­ ций деления с остатком, необходимых для определения просто­ ты числа п сразу же уменьшилось до ^Цп]. Следующий боль­ шой сдвиг, произошедший в проблеме проверки простоты свя­ зан с тем, что в середине XVII столетия была установлена М а л а я т е о р е м а Ф е р м а. Пусть а, п — произвольные взаимно простые числа. Тогда если п — простое, то справедливо сравнение ап-1==\то&п, то есть ап~1—1 делится на п. (1.2) Условие (1.2), вообще говоря, не обеспечивает простоты п, а лишь позволяет установить, что п— составное, если (1.2) не выполнено, хотя в последнем случае не дается никакого разло­ жения числа п на множители. Число п называется псевдопрос­ тым по основанию а, если HOD (а, /г) = 1 и выполнено сравне­ ние (1.2). Составные числа /г=561 = 3-1Ы7, 1105=5-1.3-17, 1729 === 7 • 13-19 являются псевдопростыми для всех а, взаимно == простых с п. Такие числа называются числами Кармихаэля (Кармайкла) (274], [298]. Возможно, что таких чисел бесконечна много. Например, для п, свободного от квадратов, условие того, что р-—1 делит п-—1 (для всех р\п), эквивалентно тому, что п — число Кармихаэля.

Однако большое преимущество необходимого условия про­ стоты (Ь2) является быстрота его проверки. Дело в том, что вычисление больших степеней ашто&п удобно делается по ме­ тоду «повторного возведения в квадрат». Если m-/i^l=-=4-i2 f t " 1 +4--22 f e - 2 +.. • +d0 — двоичное представление числа п—\ с dft-i==l и ^ = 0, 1, то определим последовательно числа гх=а и | rf, если 4_1_*==0, г ( m o d n\ м = \аг\% если rf^-l в результате an~-l = rk(modri), так как ((a2+d^?ad^)2...)ad\ а«-(...

Алгоритм возведения в степень работает очень быстро: он явля­ ется полиномиальным, требуя -3[log 2 ^] умножений для на­ хождения числа rh, так как k—[\og2n]+l- Больше того, эта теорема, а также ее обобщения и частичные обращения явля­ ются основой современных быстрых методов проверки простоты натуральных чисел. Любопытно, что появление малой теоремы Ферма было связано с рассмотрением чисел Fn=:22n— 1, при­ чем Ферма считал, что все они простые, хотя смог это прове­ рить лишь для д 4. Однако в следующем столетии Эйлер на­ шел разложение на множители F 5 =4294967297 = 641 -6700417.

Ни одного нового простого числа Ферма больше не было най­ дено, и многие математики считают сейчас, что их больше нет [79]. История поисков больших простых чисел связана с простыми числами Мерсенна вида МР=2Р—1, где р — другое простое число. Причина этого состоит в следующем критерии Люка: число Mk(k^2) тогда и только тогда является простым, когда оно делит число Lh„u где числа Ln определяются рекур­ рентным соотношением: Li=4, L n+1 =-L n 2 —2 (так что 2= 14, 1,з=194, L 4 =37634,... ) • Поэтому простоту числа Mk прове­ рить значительно легче, чем простоту других чисел того же по­ рядка. Числа Мерсенна играют важную роль и в некоторых других проблемах теории чисел. Евклид обнаружил, что если число 2-р—1—простое, то число 2v~l(2v--1) является «совер­ шенным», то есть равно сумме своих собственных делителей (например, 6 = 1 + 2 + 3, 2 8 = 1 + 2 + 4 + 7 + 1 4, 496 = 1 + 2 + 4 + + 6 + 1 6 + 3 1 + 6 2 + 1 2 4 + 2 4 8 ), а Эйлер доказал, что все четные совершенные числа имеют указанный вид. Неизвестно, сущест­ вуют ли вообще нечетные совершенные числа. Первые восемь простых чисел Мерсенна были известны Эйлеру (для р = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31). В последнее время простота многих чисел Мерсенна проверена с помощью компьютеров; так простое чис­ ло Mi32 049 найдено в 1983 г. и имеет 39 571 цифру. О рекордах в этой области см. книгу Рибенбойма [365], [106].

\ 1.3. Основная теорема арифметики и алгоритм Евклида.

Для целых чисел а и Ъ запись а\Ъ обозначает, что а делит Ь, то есть для некоторого целого числа d имеем b—ad; если р — простое число и а — неотрицательное целое число, то запись ра\\п означает, что ра — это наивысшая степень р, делящая п.

При этом число d называется р-показателем п и обозначается ordpn. Теорема об однозначности разложения произвольного на­ турального числа п в произведение простых чисел (с точ­ ностью до порядка сомножителей) эквивалентна своему след­ ствию: если некоторое простое число р делит aby то р\а или р\Ь. Другое следствие состоит в методе отыскания всех делителей числа п, записанного в виде произведения степеней простых чисел: делители являются произведениями тех же простых чисел р в степенях, не превосходящих ordpn.

Наибольший об­ щий делитель НОД (а, Ь) целых чисел а и Ъ — это наибольшее целое число [20], [274], делящее одновременно а и 6, которое легко выписать, если даны разложения чисел а и Ъ на простые числа:

rd,} ' НОД(а, ft)=-n/W'° ^, Аналогично, наименьшее общее кратное НОК(#, Ь) чисел а и Ь — это наименьшее положительное целое число, делящееся од­ новременно на а и 6, и HOK(a,6)=IIpma,t{or^(a),0^(4)}.

р Если разложения целых чисел а я b в произведение простых чисел неизвестны, то для нахождения НОД (b, b) можно вос­ пользоваться довольно быстро работающим алгоритмом, кото­ рый называется алгоритмом Евклида и состоит в следующем:

в предположении, что х6^1, вычисляется последовательность *о, *ь х2, - - •, где х0—а, Xi = by и xi+i равно остатку от деления Xi-i на Xi до тех пор, пока не получено xh=0; в результате НОД (а, Ь) =Хь-1 совпадает с последним ненулевым остатком.

Число делений с остатком в алгоритме Евклида не превосходит 51ogi 0 max{|a|, \b\} («теореме Ламе») [269], [453]. Наибольшее число делений с остатком реализуется для двух последователь­ ных чисел Фибоначчи a=uk% b=uk~u где ит—и{-\-и{-1 при Q*l, ^0=^1 = 1. Из алгоритма Евклида следует и быстрый спо­ соб нахождения таких целых чисел А я В, что Аа+ВЬ = НОЦ(а, Ъ). (1.3) Для этого находим последовательно числа А{ и В{ с условием х«==Л**о+-8|Хь полагая Л 0 -=#1==1, Ai—Bo—О, а для г^\ Ai+i=Ai~i—tAh Bi+i=Bi-i—tBiy где t определено из равенства xi+i=x{-i—tx{. Поскольку xh-\ = = НОД(а, b), мы получаем решение (1.3) :A=Ak-i, B=Bk^u Алгоритм Евклида дает способ доказательства основной теоре­ мы арифметики в форме эквивалентного ей утверждения о том, что если p\ab, то р\а или р\Ь, где р — простое, a, b — целые числа. Действительно, если p-fa, то НОД(а,р) = 1 по определе­ нию простого числа и в силу алгоритма Евклида имеем аи+

-|-до==1 для некоторых целых чисел и я v. Умножая обе части на 6, получаем равенство abu-{-pbv = b, из которого видно, что Р\Ъ.

1.4. Вычисления с классами вычетов. С точки зрения алгеб­ ры, множество целых чисел Z является коммутативным ассоциативным кольцом с единицей, то есть множеством с двумя коммутативными и ассоциативными операциями (сложение и умножение), связанными друг с другом законом дистрибутив­ ности: для любых a, ft, cZa(b-\-c) =ab+ac.

Понятие делимости в кольцах связано с понятием идеала. Идеалом I в коммутатив­ ном ассоциативном кольце R называется подмножество b R, замкнутое относительно сложения, содержащее вместе с про­ извольным аб/ и его противоположный элемент: —аб/, а также замкнутое относительно умножения на произвольные элементы из кольца.

Идеал вида I=aR называется главным идеалом, порожден­ ным элементом а, и обозначается символом (а). Тогда отноше­ ние делимости а\Ь в кольце R то есть Ь==ас для некоторого

cR равносильно включению соответствующих главных идеалов:

(b)cz(a) (или 66(a)).

В кольце Z деление с остатком на наименьший положительный элемент в идеале /=^={0} показывает, что все / — главные, то есть всякий ненулевой идеал / имеет вид (N) =NZ для нату­ ральных чисел i V l. При этом идеалы, максимальные по вклю­ чению, в точности соответствуют простым числам. Остатки от деления на N подразделяют все целые числа на непересекаю­ щиеся классы a=~a+NZ, 0aN — 1, множество которых также образует кольцо, обозначаемое Z/#Z-Z/(A0—{б,Г,...,77=Т}.

Часто в задачах теории чисел вычисления в кольце Z можно сводить к вычислениям в кольце вычетов Z/NZ. Это доставляет ряд удобств, например, на многие элементы из Z/NZ можно де­ лить, оставаясь в пределах этого кольца (в отличие от целых чисел, где всегда определено только деление на ± 1 ). Действи­ тельно, если число а взаимно просто с N, то есть НОД(а, N) = = 1, то класс а обратим, так как в этом случае, согласно (1.3), существуют целые числа х, у такие, что ax+Ny=l, поэтому а-х=1. Так получаются все обратимые элементы кольца выче­ тов Z/NZ, которые образуют группу по умножению, обозначае­ мую (Z/NZ)X. Порядок этой группы, то есть число таких а что НОД(а, N) = l и 1-^а^Л^—1, обозначается ф(Л/г) (функция Эйлера). Название происходит из обобщения малой теоремы

Ферма, принадлежащего Эйлеру:

а ф(Л °==1 в кольце Z/iVZ, то есть (Ь4 ap(jv) = ! (modiV) Для а с НОД(а,Л0 = 1. * b, ae(Z/NZ)x, Р=- П Вот простое доказательство: если 76(z/.vz)X то отображение Ъ++аЪ является перестановкой множества (Z[NZ)X, П (ab)==a(0{N) Л поэтому произведение Ъ совпадает ~-6(Z//VZ)x ie(ZfNZ)X с^ обратимым элементом Р., деление на который показывает, что а = 1. Мы будем пользоваться часто записью a=#mod./V Для пелых чисел a, b и натурального числа Л/*, которая означает^ что а=Ь в кольце Z/JVZ, то есть N Делит разность целых чисел а и Ь [20].

Если число N разложено в произведение N=Ni...Nk попар­ но взаимно простых чисел, то имеется разложение Z/NZo*Z/NlZX...XWhZ (1.5) в прямое произведение колец, что эквивалентно китайской тео­ реме об остатках: для любых вычетов аг-тос1Л/*, t—1,..., й, найдется такое целое число а, что а=а*тос1Л^ (=1,..., )• Практический поиск числа а можно быстро осуществить, приме­ няя повторно алгоритм Евклида. Положим Mi=N/Ni9 тогда чис­ ла Mi и Ni по условию взаимно просты, то есть НОД {Ми Ni) = 1, и в силу алгоритма Евклида (1.3) существуют такие целые числа Хи что XiMi^ 1 mod Nt. Положим теперь а=2а*** (L6) Тогда мы видим, что для каждого i все члены в сумме (1.6), кроме i-ro члена, делятся на Nu поскольку Ni\M5 при \Ф1. Сле­ довательно, число а — искомое, так как для всех i мы имеем a^aiMiXi^aim.o&Ni.

Кроме того, из разложения (1.5) вытека­ ет и разложение мультипликативной группы:

(Z/iVZ)^(Z/^Z)^X...X(Z/iVfeZ)x, (1.7) из которого, в частности, следует, что q(N) =q)(Ni) •.."••-ф(ЛГЛ)В специальном случае, когда N=q— простое число, кольцо вычетов Z/qZ является полем: в нем обратим любой элемент, отличный от нуля. В этом случае группа (Z/qZ)x— цикличес­ кая, то есть она совпадает с множеством степеней некоторого (неоднозначно определенного) элемента t—tq. Практическое нахождение первообразного корня трудоемко так же, как и вычисление «дискретного логарифма» # = m d (a, tr q), то есть степени, в которую нужно возвести /, чтобы получить

ae(Z/qZ)x:

tx==a(modq), 0*7—1. (1.8) Трудоемкость означает, что неизвестны полиномиальные алгоритмы, решающие в общем случае эти задачи. Однако в том случае, когда все простые множители числа q—1 невелики, существует удобный способ нахождения дискретного логарифма x=ind(a, t, q) (см. [274, с. 98]). Прежде всего, для каждого простого.числа р, делящего q—l, вычисляются корни степени р из единицы rPij^tnv~i)lP(/==0, 1,...,/-!),.

в мультипликативной группе (2/qZ)x (д*ля вычисления высоких сте­ пеней t используется метод повторного возведения в квадрат из п. 1.2). Пусть таблица вычетов rpj уже составлена для звсех 11 ра — разложение числа ^ — 1. В силу /7К-?— 1) и q—\= Р|(7--) xmodpa китайской теоремы об остатках (1.5), достаточно найти для всех p\(q—1). Будем искать xmodpa в виде x==xo+Xip+... +ха-хра-1 (modp a ) ( 0 O i p ).

Для нахождения первой цифры х 0 вычисляется степень а р б Q(ZlqZ)x, которая является корнем степени р из единицы, так как aq~l ==1 (mod(#)). Из сравнения a = z^mod7 вытекает^ что a (-/-i)/P = = ^«r-D/P == tx.(q-i)tp == Г р ДГо ( m o d #).

= Поэтому, сравнивая а(*-1)/* с элементами таблицы {rP}j} пола­ гаем х0 равным тому значению /, для которого a ^ - ^ P s rPtj(modq). Чтобы найти следующую цифру х ь заменим а на ai=a/tXo. Тогда q)—x0^Xip+...+xapa"~l(modpa).

ind(a b U (У)-У-1 [ / 2 7 ^ - i ] ( [ / - ^ I - l ] + l), t?(v)-[Vto^l-i1]-42)(у)+2. ' Здесь [z] обозначает целую часть числа г. Проверка прими­ тивной рекурсивности этих функций проводится с помощью ре­ зультатов и приемов пи., 3.4—3.6.

Конструкция tim\ т^Ъ. Предположим, что t(m-~l\ T(m""1} уже построены и проверены их свойства. Положим прежде всего T^)(^b.-..,^m)=T(2)(T(w-1)(^b...,^m-l), *m) • ш Ясно, что х примитивно рекурсивна и взаимно однозначна, Решив уравнение tim) в два приема, получим для обратной функции формулу m l) №(y)=t?\y), tW(y)~4 - (t?\y))t 1/да_1.

im) По индуктивному предположению t\ примитивно рекурсивны»

Этим доказана лемма и завершена первая часть доказа­ тельства теоремы 3.8.

Вторая часть доказательства. Установим, что всякое пере­ числимое множество примитивно перечислимо. Начнем со сле­ дующего легко проверяемого свойства класса примитивно пе­ речислимых множеств.

3.11. Л е м м а. Класс примитивно перечислимых множеств замкнут относительно следующих операций: конечное прямое произведение, конечное пересечение, конечное объединение,.

проекция.

Пусть теперь Е — некоторое перечислимое множество. Ре­ ализуем его как 1-уровень частично рекурсивной функции / из (Z+)n в Z+ по предложению 3.7 и заметим, что для доказа­ тельства примитивной перечислимости Е достаточно проверить примитивную перечислимость графика rjc:(Z+) n XZ +. Действи­ тельно, ясно, что = 1-уровень f — проекции на первые п коор­ динат множества Г/П['(?+)я+'{1}1, Кроме того, множество {l}c:Z+ примитивно перечислцмо по свойствам п. 3.4, и если.

мы докажем, что Г/ примитивно перечислимо, то из леммы 3.11 будет следовать то же самое для Е. Итак, окончательная ре­ дукция нашей задачи выглядит так: доказать, что графики частично рекурсивных функций / примитивно перечислимы.-.

С этой целью проверяется, что: а) графики простейших функ­ ций примитивно перечислимы; б) если даны функции с при­ митивно перечислимыми графиками, то у функции, которая получается из них применением одной из элементарных опера­ ций, также примитивно перечислимый график.

Устойчивость относительно рекурсии и ji-оператора яв­ ляется наиболее тонким фактом, Для этого используется сле­ дующая красивая и полезная лемма.

ЗЛ2. Л е м м а.

Существует примитивно рекурсивная функ­ ция Gd(k,t) (функция Гёделя) со следующим свойством:

для любого NQZ+ и любой конечной последовательности:

а ь..., aNGZ+ длины N существует такое *GZ+, что Gd(k,t)^uk при всех 1&-V (иными словами, Gd(k,t) —это такая после­ довательность функций от аргумента ky пронумерованная зна­ чениями параметра t, что любая функция от k на сколь угод­ но большом интервале l,...,Af может быть имитирована под­ ходящим членом последовательности).

В доказательстве сначала удобно положить gd(M, kt t) = r e m ( l. + M u) и показать, что gd обладает тем же свойством, что и Gd, если разрешить подбирать (и, /)(Z+) 2. После этого можно будет положить Gd(k,y)=gd(t\2)(y\,42)Ш.

(2) 2 где t : Z+-(Z+) — изоморфизм из леммы 3.10. Избавление от лишнего параметра и в Gd(k,t), по сравнению с gd(u,k,t)r несущественно.

3.13. Обсуждение свойств перечислимых множеств. Теоре­ ма 3.8 показывает, что если Е перечислимо, то существует про­ грамма, «порождающая Е» (ср. с п. 3.6). Действительно, пусть Е — проекция на первые п координат 1-уровня примитивно ре­ курсивной функции f(xu..., хп, у)- Порождающая Е програм­ ма должна перебирать векторы (х ь..., хп, у), скажем, Б канторовском порядке, вычислять f и подавать на выход (хи.. •..., хп) в том и только в том случае, когда f = 1. В силу при­ митивной рекурсивности f, порождающая программа рано или поздно выпишет любой элемент Е и ничего кроме него, и не может навечно застрять на элементе, не принадлежащем Я.

Однако если Е пусто, мы этого можем никогда не узнать.

Множество Ecz(Z+)n называется разрешимым, если оно и его дополнение перечислимы. Интуитивно это означает, что есть программа, по каждому элементу (Z+) n выясняющая, при­ надлежит ли он Е или нет. Эти множества можно охарактеризорать как множества уровня общерекурсивных всюду опреде­ ленных частично рекурсивных функций, или же как множества, характеристическая функция которых рекурсивна. Чтобы уста­ новить эти свойства, используется следующий результат.

Щ

3.14. П р е д л о ж е н и е. Для того чтобы частичная функция g из (Z+) n в Z+ была частично рекурсивной, необходимо и достаточно, чтобы ее график был перечислим § 4. Диофантовы множества и алгоритмическая неразрешимость

4.1. Прежде чем объяснить, как доказывается теорема 3.9 о совпадении класса диофантовых множеств и класса перечис­ лимых множеств, приведем несколько интересных приложений этой теоремы. Из логики известно существование перечисли­ мых, но не разрешимых множеств. Из объединения этого ре­ зультата, теоремы 3.9 и тезиса Черна вытекает неразрешимость десятой проблемы Гильберта (см. п. 1.2).

Прежде всего, любое натуральное число есть сумма четырех квадратов целых чисел (теорема Лагранжа, I, п. 1.2.6). Поэто­ му разрешимость уравнения f(xu..., хп)=0 в (Z+) n равно­ сильна разрешимости уравнения /(-+2^----+2^)-о V i-i *-i / в Z 4n. Следовательно, достаточно установить алгоритмическую неразрешимость массовой проблемы «распознавания наличия решений» в (Z+)71. Пусть c z Z + ~ перечислимое, но не разре­ шимое множество. Представим его в виде проекции на ^-ко­ ординату множества 0-уровня многочлена /=/(; хи...» хп) = = 0, f6Z& *!,..., * п ]. Уравнение fto = 0 ; t0Z+ разрешимо, если и только если ивЕ* Согласно общему принципу (тезис Черна), интуитивная вычислимость эквивалентна частичной рекурсивности функции. Отсюда вытекает, что соответствующая массовая проблема для семейства {ft} алгоритмически разрешима, если и только если характеристическая функция Е вычислима. Од­ нако по выбору Е это неверно: хотя Е перечислимо, дополне­ ние к не перечислимо.

Таким образом, разрешимость в целых числах нераспозна­ ваема уже для подходящего однопар а метрического семейства уравнений. Число неизвестных в нем и вообще коразмерность проекции, подразумеваемой в теореме 3.9, может быть сведено до 9 (Ю. В. Матиясевич). Точный минимум неизвестен, хотя очень интересен.

4.2. План доказательства теоремы Матиясевича. Временно вводится класс множеств, промежуточный между перечислимы­ ми и диофантовыми. Чтобы определить его, рассмотрим отобра­ жение, которое ставит в соответствие nкаждому подмножеству

c:(Z+) n новое подмножество Fc:(Z+) по следующему правилу:

(хи...,хп_ь k)E.

Будем говорить в этом случае, что F получилось из Е приме­ нением ограниченного квантора общности по /г-й координате.

Аналогично определяется применение по любой координате.

О п р е д е л е н и е - л е м м а. Рассмотрим следующие три.класса подмножеств в (Z+) n при всевозможных п.

I. Проекции множеств уровня примитивно рекурсивных

•функций.

II. Наименьший класс множеств, содержащий множества уровня многочленов с целыми коэффициентами и замкнутый относительно операций конечного прямого произведения, конеч­ ного объединения, конечного пересечения, проекции и ограни­ ченного квантора общности.

III. Проекции множеств уровня многочленов с целыми ко­ эффициентами.

Тогда:

а) Класс I совпадает с классом перечислимых множеств, а класс III — с классом диофантовых множеств. Множества клас­ са II будем называть Ь-множествами.

б) Справедливы включения: IZDIIIDIIL Завершающие шаги теоремы Матиясевича состоят из редук­ ций, подобных уже описанным. Критическое место — доказа­ тельство того, что класс диофантовых множеств замкнут отно­ сительно применения ограниченного квантора общности. Здесь и используются диофантовы представления конкретных мно­ жеств, построенных в § 2, для проверки того, что применение функции Гёделя не нарушает диофантовости.

Глава 2 АРИФМЕТИКА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ

§ 1. Алгебраические числа: реализации и геометрия

1.1. Присоединение корней многочленов. Идея расширения лоля рациональных чисел во многом обязана попыткам решить конкретные диофантовы уравнения. Использование иррацио­ нальных чисел, являющихся корнями многочленов с рациональ­ ными коэффициентами, часто позволяет привести такие уравне­ ния к более удобной форме. Интригующий пример связан с уравнением Ферма [13], {90], [196], [364] xn+yn=z» (л2). (1.1) Неразрешимость (1.1) в целых числах, отличных от нуля (при л 2 ), до сих пор не установлена в общем случае, хотя из не­ давних работ Фал'ьтингса (гл. 3, § 5) следует конечность чис­ ла примитивных решений (х, у, г) (то есть таких, что НОД(я„ у9 г ) = 1 ) для всех п2. Если п — нечетное простое число, то левая часть (1.1) преобразуется в произведение:

71-1

П ( х + */)-2Л, (1-2)

где =ехр(2я*/я) — первообразный корень степени п из 1. Ис­ пользуя свойства делимости произведения в левой части. (1.2), можно доказать, что (1.1) неразрешимо в целых числах, не делящихся на п (то есть установить первый случай теоремы Ферма: n-f xyz), если предположить, что в кольце R = Z[%] спра­ ведливо свойство однозначности разложения на простые множи­ тели (Куммер). Однако это свойство выполнено далеко не всег­ да: Масли и Монтгомери [311] нашли все такие п; их оказалось 29, из которых простыми являются л = 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19..

Тем не менее, справедливость первого случая теоремы Ферма недавно установлена для бесконечно многих простых чисел [124], [208], [224].

Пусть а — некоторый комплексный корень неприводимогомногочлена f(x) =xn+an~ixn-l+... +a0GQ[%] с рациональными коэффициентами afiQ. Если A=Q(a)—наименьшее поле, со­ держащее а, то любой его элемент р имеет вид р-=г(а), где г{х) — многочлен степени d e g r ( x ) ^, а правила действий в Q(a) таковы, как с остатками по модулю многочлена / в коль­ це многочлен. Другими словами, имеется изоморфизм поля k с факторкольцом Q[x](f), и k является п-мерным Q-векторным пространством (с базисом 1, а,..., a n _ 1 ). Выбор базиса дает еще одну реализацию элементов поля k как квадратных матриц размера п: элементу р 3 отвечает матрица линейного отобра­ & жения фЭ: Я!-* рх. В базисе 1, а,..., а""1 эндоморфизм фа за­ писывается матрицей (сопровождающая матрица) /0 0...0—а0 /1 0...0-ах Л а = 0 1... 0 — а2 \ 0 0.. Л— ип_х а. наименьшее подкольцо алгебры матриц Afu(Q), содержащее Аа, отождествляется с k. Кажрый элемент рй является корнем характеристического многочлена эндоморфизма фР, его опреде­ литель и след обозначаются N(p), Тг(р) и называются, соот­ ветственно, нормой и следом элемента р. Билинейная форма В : kXk-+Q, определенная по правилу В (и, v)=lx{uv), являет­ ся невырожденной. Элемент рей называется целым, если коэффициенты Ь{ характеристического многочлена det(X- In—Фэ) =Хп+Ьп-гХ*-1 +... + М С 1 И — целые рациональные числа. Это условие равносильно тому, что кольцо Z;[p] — конечно порожденная абелева группа. Мно­ жество во всех целых чисел поля k будет обозначаться &=Oh и является также конечно порожденной абелевой группой: сво­ бодным Z-модулем с базисом соь----п. Определитель билиней­ ной формы В(и, v) в таком базисе называется дискриминантом D—Dh поля k и не зависит от выбора базиса Z-модуля^.

Идея выполнения символьных операций над корнями много­ членов привела к теории алгебраических расширений полей, для которых можно провести рассмотренные конструкции. Ес­ ли kczK — два поля и размерность [К: Щ конечна, то для лю­ бого р_/С аналогично определяются NK/ft(P) Тг К А (р). Требова­ ние невырожденности формы Вк/К(и, v)—TrK/h(uv) является одним из определений сепарабельного расширения. В этом слу­ чае всегда можно найти такой элемент у&К, что K=k(y) (тео­ рема о примитивном элементе) [51], [120].

Присоединение корней всех неприводимых многочленов из k{X] к основному^полю k приводит к конструкции алгебраичес­ кого замыкания k. Это поле, однозначно определенное с точ­ ностью до изоморфизма и состоящее из элементов, алгебраичес­ ких над &, само алгебраически замкнуто: любой многочлен }(Х)ЩХ] имеет корень ak, если d e g f 0. Когда пишут Q, то часто имеют в виду конкретную реализацию этого поля в виде множества всех комплексных чисел 2бС, являющихся корнями многочленов с рациональными коэффициентами.

1.2. Расширения Галуа и элементы Фробениуса ([51], [303]).

В общей ситуации пусть Klk— конечное сепарабельное расши­ рение, kaKak. Тогда Klk называется расширением Галуа, если для всех вложений %:K-*-k над k (то есть Х(х)=х при x&k) выполнено условие %(К)=К. В этом случае автоморфизмы Х:К~*К над k образуют группу G(Klk) —Aut(Klk) порядка п—[К: k\ которая называется группой Галуа, а расширение Klk называется тогда расширением Галуа. В дальнейшем мы будет обозначаться х°, либо ох, так что выполнено равенство множествах X, а результат действия aG(K/k) на элемент хЪХ будет обозначаться х?, либо ох, так что выполнено равенство (ха) (х) =т(ах), хха=(ха)* (левое действие G(K/k) на X).

Основная теорема т е о р и и Г а л у а. Существует взаимно однозначное соответствие между подгруппами HczG(Kfk) и промежуточными полями L, kaLczK, определен­ ное по правилу Я ^ Кн == {хеК | хс = х Для всех абЯ}, k) | ха=х. для всех хб!}« L^HL={oG(K\ При этом соответствии нормальные подгруппы HG(K/k) отве­ чают расширениям Галуа L/k9 причем G(L/k)—G(K/k)/HL.

П р и м е р. Конечные поля. Пусть K—Fq — конечное поле изq элементов, тогда q=pf и Fq — векторное пространство степе­ ни / над простым подполем Fp = Z/pZ [303]. Для любого целого числа г 0 в алгебраическом замыкании Fq содержится ровноодно расширение поля Fq степени г,

–  –  –

поэтому Фт(Х)^Ц{Хт1й'-\fw&\X\ (\1(а)-фунщия М'ёбиd\m уса). Неприводимость устанавливается с помощью редукции мно­ гочленов Z[X]-+FP[X] по модулю р: f(X)»f(X)6FpJX] ис помощью эндоморфизма Фробениуса f (X)++f (Х)р = f (X?) в кольце F p [Z]. Предположим противное: Фт(Х)—приводим и — разложение Фт на неприводимые многочлены в кольге Z [X]* Докажем, что для всех a mod ж, (а, яг)=1, e a i H ' / i ( m ) e °. той / i ^ m ) ^ 0 - Воспользуемся существованием простого числа р, та­ кого, что р?==а(тойт). Многочлен Хт— 1 взаимно прост со своей производной тХ"*'1 j кольце F p [J^], так как /?fm, а следова­ тельно, многочлены fx(X),...,f.Г(Я)—попарно взаимно просты, по Если теперь / у ( * ) = 0 для какого-нибудь ]ф\, то / y (^]=eO t и поэтому Л (АО делит fj(Xp), а значит, / i W A _ e ^ T Jji^9)^ p =(fj(X)). Это противоречит взаимной простоте fi(X) и fj(X).

Заметим, что нетрудно избавиться от предположения существова­ ния р с условием p=za(modm): Для этого рассматривается раз­ ложение на простые множители а==/?* 1.../?"•* и редукции по мо­ дулю mod/?*, t = l,..., 5 [13], (51], [166], [289], [436].

Напомним, что характером Дирихле % по модулю m назы­ вается гомоморфизм %: (Z/mZ) х-~э-Сх, который часто рассмат­ ривается как функция на множестве Z, причем %(.#) = ==%(xmodm), если (#, т ) = 1, и %(х)=0, если (х, т ) 1 (см. I,.

п. 2.2.2). Согласно доказанной теореме, существует канониче­ ский изоморфизм G(-K m /Q)^(Z/mZ) x, поэтому характер Ди­ рихле х з а Д а е 1 гомоморфизм р х : Gal(Q/Q)-^C x с помощью проекции Gal(Q/Q)-^Gal(i( m /Q)..

Т е о р е м а К р о н е к е р а - В е б е р а. Для любого гомомор­ физма конечного порядка р : Gal(Q/Q)--Cx существует такой характер Дирихле %, что р = рх [113], [135], [166].

Эквивалентная формулировка: любое расширение Галуа K/Q с коммутативной группой Gal(/C/Q) (абелево расширение) содержится в некотором круговом расширении.

Замечательно то, что элементы группы Галуа Gal(/Cm/Q) отвечают простым числам р (точнее, pmodm) для р\ т* Наиболее глубокие результаты алгебраической теории чисел связаны с обобщениями теоремы Кронекера—Вебера. Напри­ мер, Серр и Делинь установили соответствие между такими неприводимыми двумерными представлениями р :Gal(Q/Q)-~

-GL 2 (C), что detp = px для нечетного характера Дирихле %, и примитивными параболическими формами веса один (см. гл. 4, § 4) (теорема Серра—Делиня). Предположительно,- это соот­ ветствие является взаимно однозначным, задавая двумерный вариант теоремы Кронекера—Вебера.

1.3. Тензорное произведение полей и геометрическое изобра­ жение алгебраических: чисел. Чтобы получить удобную геомет­ рическую реализацию поля алгебраических чисел ky мы ис­ пользуем тензорное произведение &0R. Конструкции, использу­ ющие тензорное произведние полей и колец, очень распростра­ нены в алгебраической теории чисел, поэтому мы начнем с бо­ лее общего результата.

Теорема о тензорном п р о и з в е д е н и и полей.

Пусть K/k — конечное сепарабельное расширение, К=к(ч) L/k — некоторое другое расширение, причем /72

–  –  –

где Li^L[X]/(gi(X))—kozembie расширения поля Z,, содержа­ щие К (при вложении %t:Kc^Li по формуле h(r№==r(X)X(modgi(X))(™. [166]).

Доказательство этой теоремы проводится подобно доказа­ тельству китайской теоремы об остатках: элементы г(ч)®к1 [IGL, г(Х)ЩХ]) порождают K®hL, а изоморфизм задается формулой r(^l^(tr(X)modg1(X\.^Jr(X)modgm(X)) Следствие. Для любого $&К рассмотрим его характери­ стический многочлен ft(X)Gk[X] в расширении KJk и характери­ стические многочлены $ы%ЦХ\ элементов Xi($)Li над L.

m Тогда /р (X) = П /р, г (X). В частности,

–  –  –

Решёткой М в векторном пространстве Rn будем называть такую дискретную подгруппу.MczR71, что факторгруппа Rn/M компактна (в естественной топологии). Любая решетка Ма =Rn является свободной абелевой группой, натянутой на ка­ кой-нибудь базис еи. • •, еп в Rn.

Если О — кольцо целых элементов поля Д", то можно про­ верить, что его образ M=X(G)ci$Kn является решеткой, при­ чем DK=(-4Y*voV(Rnlh(0)\ (1.7) n где DK — дискриминант поля К (см. п. 1.1.), a vol(R /M)~ объем основного параллелограмма | ^ хьеь | 0 / r i l l решетки М=еи..,, епУ по обычной мере Лебега в Rn. Пусть, напри­ мер, K=Q(a) —квадратичное поле, где a2 = d и целое число d свободно от квадратов. Тогда вычисление характеристического многочлена элемента $ = а+Ьа (где а, Ь — рациональные числа) показывает, что 7 = Z[co], где ©=(1+а)/2 и DK = d при d-^1 (mod4), co = a и DK = 4:d при ^--=2, 2(mod4).

Если d —положительно, то геометрическим изображением числа р—=-а+6с% будет точка Хф)=(а-{-ЬУсГ, a — bYd).

В случае мнимого квадратичного поля (d0) изображением числа $ = а+Ьа будет точка a-\-ibY\d\ на комплексной плос­ кости. Поскольку Z [со]= ( 1, со, то при положительном d

–  –  –

1.4. Единицы, логарифмическое отображение и регулятор.

В кольце Z есть только два Обратимых элемента: 1 и — 1.

Группа единиц, то есть обратимых элементов, кольца целых элементов 0К поля алгебраических чисел К устроена менее тривиально, но ее строение поддается полному описанию. Эта группа обозначается О к или Ек, а к нахождению ее элемен­ тов сводится ряд интересных задач элементарной теории чисел, например, решение уравнения Пелля (I, п. 1.2.5) х 2 ~-^ 2 = 1 (1.8) (где натуральное число d свободно от квадратов). Действительно, если §60*- то Np и (NP)"1 = N (р""1) — целые рациональные числа* поэтому N p = = ± l. Наоборот, если §0К и Np == ± 1, то Рб?Следовательно, любое решение (1.8) в целых числах х, у дает некоторую единицу $=х + уа вещественного квадратичного поля AT=Q(a) v a 2 = i, так как Щ={х + у Vd)(x — yVd). Из общей теоремы Дирихле о строении группы единиц Ек произвольного поля алгебраических чисел К следует, в частности, что для •/r=Q.(l/"dt) EK={± &п/пв1}, где г—фундаментальная единица (она однозначно определена требованием, что число Хг(&)=а-{~ + Ь ^—наименьшее с условием Xi(e) 1), Так, множество реше­ ний (1.8) в целых числах отождествляется с подгруппой в, имеющей вид {±8*//zgZ}, где щ = х0+уоа отвечает наименьшему решению (х0, у0), однозначно определенному условием минималь­ ности числа ^i(e0)=--=x04-i/oVrrfb Для описания группы единиц в общем случае испшьзуется вложение X : # ^ K " ® R ^ R f l X C r s Q и логарифмическое отображение /:(R r i xC r i )-R r i + r \ где при / i :R x -^R, а при irx |2, irt li(x) = log\x\, ti(x)^log\x JH / i :C x -R. При отображении 1% умножение элементов в поле К переходит в сложение векторов пространства R r i + r 2. Если хеК^ то мы знаем, что Nx-—--^ (х)...%Гх (х)КГ1+г (х)КГ1+](х)...

х...ХГ1+гЛ )^гг+г2(х) в силу (1.3), поэтому /1+Г2

–  –  –

Ядром отображения /:(iC®R) x -R ri+/ " 2 является компактное под­ множество { ± l } r i x 5 r 2 c R r i X C r 2 ^ R ^, где S~{zeC/\z\=l} — окружность. Следовательно, логарифмическое отображение дает Довольно эффективный способ изображения группы единиц: «ядро* отображения Л:.--R ri+ra состоит лишь из конечного числа элементов (корней из единицы, лежащих в К). Действительно»

только конечное число элементов дискретного множества %{Ук) попадает в компактное множество Ker/czR71. Основная теорема о строении группы единиц (Дирихле)—это утверждение о том г что образ 1%{ЕК) является (полной) решёткой в V^Rr (r=^ — Г1+г2—1). Другими словами, найдутся такие элементы ei,..., Вг^Ек, что любая единица еЕк однозначно представ­ ляется в виде 8 = r]8in-... &rnr, где nt-6Z, r\ — некоторый корень из 1, лежащий в К. В частности, ги..., е г — мультипликативна независимы: M,(ei),..., U(e r ) образуют базис векторного про-странства V. Рассмотрим теперь объем vo\(V/l%(EK)) основ­ ного параллелепипеда решетки единиц (по мере подпростран­ ства V, заданной мерой Лебега в Rn). Тогда величина Як=* =уо\(У/1Х(Ек))/Уг+}1 называется регулятором поля К и равна абсолютной величине определителя A^l( 8 l) 4^2(el) •'• • 'r1+rAr1-Ki(8l) 1хХг (8 Г ) /2Я2(8Г)... / Г 1 +г.А, Г 1 + Г в ( в г ) (г1 + г 2 Г ( г 1 + г 2 Г 1... (гг + г2Г1

1.5. Точки решетки в выпуклом теле. Сейчас мы опишем геометрическую идею, на которой основано доказательство тео­ ремы о единицах и других интересных фактов (оценки дискри­ минантов).

Лемм а Минковского о в ы п у к л о м теле. Пусть Ж - р е ш е т к а в R n, A = vol(R n /.M), и пусть J c : R n — центральносимметричное выпуклое тело конечного объема v=vol(X)i Тогда если и 2 п Д, то существует 0Фа&М[)Х.

8* 115»

Для доказательства удобно рассмотреть решетку 2.Mc:Rn vol(Rn/2.Af)-*= % объемом фундаментального параллелепипеда с =--2 Д. Тогда при естественном проектировании тела XczRn п на фундаментальный параллелепипед Rn/2M обязательно воз­ никнут самоперекрытия образа тела X, так как vol(X) больше объема фундаментального параллелепипеда. Поэтому найдут­ ся две различные точки zuz2^X1 2{ф22, такие, что zi^z2mod2M7 то есть (zi—z2)/2M. Мы получаем требуемое: точка (Z\— гь)\2Ф

-* 0 лежит в теле X в силу его выпуклости и центральной сим­ т— метричности: (zi—22)/2= (zi+(—Z2))/2 (если zQX, то и — гвХ).

Вот п р и м е р ы выпуклых терг, к которым применяется лемма Минковского. Пусть JCO = (xj,..., x°rtJrrz)eK®R | N (x°) \ =

–  –  –

™(тГ-&-(тГ-гг*-» °«-показывающая, что \DK\ растет вместе с п.

Другие замечательные следствия леммы Минковского:

Т е о р е м а Э р м и т а (1863 г.). Существует лишь конечное число алгебраических числовых полей с заданным значением дискриминанта.

(1891 г.). Если K=Q, то:

Теорема Минковского |-0лг|1.

Доказательства этих теорем см. в [446].

Из приведённой оценки для Дискриминанта следует, что Дл»

больших п справедливо | Ок\11п(7,3)г*!п(5,8)г*'п, но в настоя­ щ е е врем& установлены значительно более сильные оценки для Дискриминанта: | Ок\11п(188)г^п(41)г^п (при больших /г), см.

[341], [49], полученные с помощью аналитических свойств дзетафункции Дедекинда и явных формул (пп. 4.2.3, 4.2.5).

1.6. Вывод теоремы о единицах из леммы о выпуклом теле.-Рассмотрим гиперповерхность Тс={хК(8Щ \Nx\ =c} (для фи­ ксированного 0 ), которая переходит при логарифмическом отображении в гиперплоскость

Viogc = \y№r*+r*

Группа единиц Ек действует на Тс посредством умножений на Я(е), еЕк, которые при логарифмическом отображении пере­ ходят в сдвиги на векторы /Я(е), переводящие Fi0gC в себя.

Число орбит этого действия на множестве Тс{\К(Ок) конечно* для любого фиксированного с. Действительно, достаточно уста­ новить, что если Na = NfJ = c€Z и a-^p(modc) в кольце Ок то* а/$Ек. Для этого заметим, что а делит свою норму N a = c, по­ этому число— = 1 + Р—-°- л е ж и Т в 0К^ аналогично, —(Ук, то есть a a p Воспользуемся теперь результатом п. 2.1.5 и возьмём какоеум нибудь с\ — \ Y\DK\ тогда для любого элемента хбГ~ найдется такой отличный от нуля элемент авС?к что Я (а) в

BW(x), Воспользуемся этим фактом для того, чтобы доказать»:

что факторгруппа V/IX(EK) компактна, то есть, что V=VQ по­ крывается полностью сдвигами некоторого ограниченного мно­ жества на векторы вида /Я(е), еб Я - Это свойство достаточнодоказать для любой гиперплоскости, параллельной У, напри­ мер, для Viogc вместо VQ. ДЛЯ произвольного а0к, аФО, расщ смотрим множество Fc(а)с:Viogс, состоящее из всех */ = /(#) Wiogc таких, что %(a)W{x). Тогда Fc (а) — ограничены, Yc(ae)=Yc(a)+lX(e) для гЕк и из леммы о выпуклом теле следует, что любой элемент yViogc содержится в каком-либо из множеств У с (а). С другой стороны, мы уже знаем, что су­ ществует лишь конечное число классов элементов сс^Ок с ] N a | относительно ассоциированности, то есть действия группы Ек- Тогда если {а*} — конечная система представителей этих классов, то искомое ограниченное множество — это, напри­ мер, объединение \]Yc(ai)- Это доказывает утверждение^ о компактности, а дискретность следует из аналогичного свойст­ ва %{0к) и того обстоятельства, что на каждой поверхности Тс логарифмическое отображение является гомеоморфизмом.

§ 2. Разложение простых идеалов, дедекиндовы кольца и нормирования

2.1. Простые идеалы и однозначность разложения на мнорсители. Первоначальной целью теории идеалов Дедекинда 5ыло стремление распространить идеи и результаты Куммера об уравнении Ферма на более общий класс показателей. Пусть ^-—коммутативное кольцо с 1. Идеалом а кольца R называет­ ся подгруппа aczR аддитивной группы кольца с условием i?acra. Идеал а называется простым, если из аЬва следует, что либо аба, либо 66а, то есть факторкольцо R/a не имеет дели­ телей нуля. Идеал вида (a) =Ra для aR называется главным идеалом, тогда условие делимости Ъ на а в кольце JR эквива­ лентно b(a). Символом (cti) б- обозначается наименьший идеал, содержащий все а*, Ш. Элемент KR называется про­ стым, если из равенства л=Ьс следует, что либо &, либо с — обратимый элемент кольца R. Причина неоднозначности раз­ ложения на простые элементы в кольце связана с тем, что про­ стому элементу зх не всегда отвечает простой идеал (я).

П р и м е р. Пусть R — Z[y—5], тогда имеется два существен­ но различных разложения на простые элементы 21 —3-7 —(1 + 2 ] / " =^5)(1 — 2У""==5).

Проверка показывает, что никакие отношения различных со­ множителей не лежат в кольце R. Однако однозначность раз­ ложения можно восстановить, если перейти от простых элемен­ тов к простым идеалам.

Действительно, следующие идеалы яв­ ляются простыми:

; »i-(3, i ^ = 5 - u te-(3,-l/"=6--2)f Это следует из разложений Vl8 X * + 5 = (X-l) (X—2) (mod3), #4.5—-(X-3) (X-4) (mod7), например, R/h=Z[X]/(3,X-hX2+5)^Fz[X]/(X~l)~Fz, поскольку (X— l,X2+5)=X— 1 в кольце Ъ[Х]. Аналогично до­ казывается, что имеют место разложения (3) = » ^, (7) = ^ 4, ( l + 2 K ^ 5 ) = ftto, ( l - — 2 | ^ = 5 ) = p2p4, и разложение (2\) = ^2Ы4 является уже однозначным разложе­ нием в _^1роизведение простых идеалов, но идеалы (3), (7), (1 + 2 " | / - 5 ), ( 1 — 2 К - - 5 ) - н е простые.

Дедекиндовым кольцом называется коммутативное ассоци­ ативное кольцо с 1 без делителей нуля, в котором выполнено свойство однозначности разложения ненулевых идеалов в про­ изведение простых идеалов. Эквивалентно требовать, что./? — нётерово (то есть каждый его идеал конечно порождён), целозамкнуто (содержит все целые над R элементы из своего поля частных) и все ненулевые простые идеалы максимальны (то есть R/y — поле).

Можно доказать, что кольцо Z[f—5] из нашего примера — дедекиндово. Вообще, из приведенной характеризации дедекиндовых колец следует, что для произвольного числового поля К, [К : Q]oo, кольцо целых чисел О к является дедекиндовым.

Отсюда же видно, что никакое собственное подкольцо О к та­ ковым уже не является из-за нецелозамкнутости. Например, кольцо Z [ V 5 ] — не Дедекиндово: идеал (1 — ]/5) вообще нельзя раз­ ложить в_ произведение простых идеалов, однако большее кольцо Z 1 -1 "Y 5 \=0к Уже дедекиндово- K*=Q(V5).

Таким образом, в этом классе колец можно построить хо­ рошую теорию делимости, рассматривая вместо элемента коль­ ца а соответствующий главный идеал (а), а вместо простых элементов — простые идеалы. Однако класс дедекиндовых ко­ лец весьма узок, хотя хорошую теорию делимости можно по­ строить в гораздо более широком классе колец. Например, в кольце многочленов k[xu хг,..»., хп] над полем Л имеет место однозначность разложения на простые элементы (неприводимые многочлены), но неверно свойство существования и единствен­ ности разложения идеала в произведение простых идеалов.

Например, идеал (х2, y)czk[xy у] вообще не имеет такого раз­ ложения. Этим, в частности, объясняется недоверие к простым идеалам Дедекинда со стороны Кронекера, который стал раз­ вивать другую идею изучения делимости, основанную на теории показателей, которая будет описана ниже (п. 2.5 и § 3). Исто­ рию спора между сторонниками Дедекинда и Кронекера пре­ красно описал Г. Вейль [450].

Дробные идеалы. Пусть пока 7я —кольцо целых чисел в поле К, [/C:Q]'oo. Назовем дробным идеалом такой СУя-подмодуль aczK, что ааа0к для некоторого абК х. Тогда из свой* ства дедекиндовости выводится, что вместе с а будет дробным идеалом и подмодуль а-1^{x^K\xxcz0K}. Если а, i — дробные идеалы, то аЪаК также дробный идеал. Таким образом, дроб­ ные идеалы образуют мультипликативную группу 1К с единич­ ным элементом 0К. Из дедекиндовости 0К вытекает, ^что 1К является свободной абелевой группой, базисом которой явля­ ются ненулевые простые идеалы уа0к: каждый х§1к одно­ значно записывается в виде Нормой простого идеала р называется число элементов конеч­ ного поля 0кЪ'.

Щ=\0кЬ\, а норма произвольного элемента aGlK определяется по мультипликативности. Если a = ( a ) — главный идеал, то N(a) = | N a | : умножение на а является эндоморфизмом решётки 0К, и можно проверить, что абсолют­ ная величина его определителя совпадает с индексом его об­ раза (C^:(a)),= N ( ( a ) ).

Каждому элементу а$Кх

2.2. Конечность числа классов.

можно однозначно сопоставить (а)^1к, и мы получим гомоморфизм Кх •-*• 1к- Образ этого гомоморфизма называется группой главных идеалов и обозначается Рк* Факторгруппа С1к = 1к1Рк называется группой классов идеалов. Следующий результат — это ещё одно следствие леммы Минковского.

Т е о р е м а. Группа С1К конечна, а её порядок \С1к\=Ьк называется числом классов идеалов поля К [13], [166].

Действительно, если некоторый класс идеалов представлен элементом &1к, тогда можно считать, что аа0к (при необхо­ димости можно заменить а на JWa, где М — на­ туральное число, и избавиться от всех знаменателей). Сог­ ласно лемме Минковского (п. 1.5), найдётся такой отличный от нуля аба, что | Na | (—У2 V\ Ек I Net. Поскольку а—идеал, то a C ^ c a, или C^cza^a. Теперь видно, что индекс (аг1х:0к)*** =(0к:асг1) ограничен сверху константой (—У* V\ DK |, так к ^ (0к:аог*) = \ N((a))| Na"1 (-1)" У\Щ.

Если а'—произвольный дробный идеал, содержащий 0К и {&':0к) =г, то r-10KzDa,^0K- Но ясно, что число промежуточ­ ных дробных идеалов а' между 0К и г~10к конечно. Отсюда следует теорема, поскольку индекс г принимает лишь конечное число значений.

Позже мы увидим, что эта теорема и теорема о единицах не только имеют схожие доказательства (использующие лемму Минковского), но и являются частями общего результата о строении группы иделей числового поля (см. [166], [446]).

Число классов играет исключительно важную роль в теории чисел. Например, hK=\ равносильно тому, что в кольце О к разложение на простые элементы однозначно.

Другой пример::

теорема Куммера из п. 2.1.1 о первом случае теоремы Ферма справедлива и для таких простых показателей h, что hK не делится на д, где K = Q(exp(2ni/n))—круговое поле.

Возможность получить формулы для числа классов hK свя­ зана с дзета-функцией Дедекинда (см. § 2 гл. 4, (4.2.20) — (4.2.24)).

2.3. Разложение простых идеалов в расширениях. Если К — числовое поле с кольцом целых С к и р — простое число, то главный идеал (р) =рУк разлагается в произведение простых идеалов:

(p) = ^ -... » 4 (2Л Вид разложения (2.1) для простых чисел р является важней­ шей характеристикой поля К; если, скажем, KIQ — расшире­ ние Галуа, то поле К однозначно определяется по множеству таких р, что (p)=hb-. -К, n=[K:Q] (произведение п различ­ ных простых идеалов). Эти простые числа называются вполне распадающимися в К. В общем случае задача определения ви­ да разложения (2.1) для всех р является очень трудной и свя­ зана с наиболее глубокими проблемами алгебраической теории чисел («некоммутативная теория полей классов», см. ниже § 4 гл. 4). Однако для абелевых расширений К, то есть расшире­ ний Галуа с коммутативной группой G(K/Q), такое разложение известно; оно зависит от конгруэнц-условий на р, то есть толь­ ко от вычета р по модулю некоторого натурального числа, свя­ занного с данным полем. Дадим явное описание разложения простых идеалов для круговых полей.K*—Q( "у\) и квадратич­ ных полей K=Q(T/d). Это можно сделать с помощью очень общего приема, применимого к расширению RczS двух комму­ тативных целостных колец, причем предполагается, что S —ко­ нечно порожденный ^-модуль. В этом случае каждый элемент a&S является корнем унитарного многочлена f(X)eR[X] (со старшим коэффициентом, равным 1). Например, можно взять f(X)=fa(X)=Xnr\Jfln-\Xn-l+...+#0, а ^ (характеристический многочлен). Пусть у — максимальный идеал в R. Через а обо­ значим образ а в факторкольце SJyS.

Теорема о разложении максимального идеала.

Предположим, что для некоторого элемента a^S справедливо равенство S/yS = (#/»)[«] и п = deg/{alpha}(X) ==dimH/pS/yS. Выберем такие унитарные многочлены g\(X),..., gr(X)$R[X]y что...gr(X)er(modvR[X])

• fa(X)^gl(Xy (2.2) 12!

ж gi(X)modyR[X] различны и неприводимы в кольце (/?/р)И Тогда идеалы $* = (V,gi(a) — максимальные и справедливо разложение »S—=$5...^. (2.3) Доказательство утверждения о максимальности ф* следует из изоморфизма S№i^R[X]/ (gi (X),» «(RJy) [X]/ (gi (X)) и неприводимости многочленов gi(X)modyR[X]t а разложение (2.3) - и з аналога теоремы о тензорном произведении (п. 1.2) г П р и м е р, а) Квадратичные расширения K = Q(Vd) (d&Z свободно от квадратов), CK = Z[u], co==]/rf, f«(X)^X2—d при d s 2, 3mod4, / ^ ( X ) - - ^ 2 — X + ( ^ - l ) / 4 при = Id mod4.

v=*(Vd—l)f2, Результат о разложении простых чисел в К удобно формули­ руется в терминах квадратичного характера %к поля it. По оп­ ределению, %к— единственный примитивный характер Дирихле порядка 2 по модулю | A K | С условием %к{—l)=sgnDKi где DK — дискриминант поля К, DK—Ad или d при d-^2,3mod4 или.d---lmod4 соответственно. Этому условию удовлетворяет характер (см. [13]) \(fd\)% rf=1(mod4), 1(_1)и»-1)/8+(д:-1)(^'-1)/4^у d = 2d', d ' s s l (mo2)* Тогда разложение простых чисел р в Ск имеет вид ipOK=*yp'% ъ4*У и Nj). —NJ)7 —/? щи Xjr(P) — 1.

J-?^==:p, Np==p2 (то есть р остается простым) при %^(р)==-"-Ь 1/??*=р2, Np==/? при Xir(p)==0.

Для доказательства надо применить теорему с i?=-Z, S =(?к* а = со и посмотреть на разложение квадратичного многочлена fto(X)modp который либо имеет два различных корня, либо неприводим, либо имеет кратный корень над F p в указанных трех случаях, в зависимости от равенств % к{р) = 1, %к(р)^ =—Гили %к (р) =0. Этот результат можно переписать в виде тождества (ср. с п. 4.2.3) E(l-~Nrs)=(l-p-s)(\~XK{p)p-s) (S6C). (2.4)

–  –  –

ГД^ (р(рр)=р*^ (PI — 1), а число / ' равно порядку элемента PtmoAmpT"* в (Z\mpT^Z)x и f'r'^yimp-**).

Доказательство. Отметим прежде, что для простых идеалов yczOK число f=-logpNp совпадает со степенью расши­ рения конечных полей: f = [0K-lt- Z/pZ] и f совпадает также с Порядком автоморфизма Фробениуса Х*-+ХР3 порождающего циклическую группу порядка f, группу Галуа G{(ОWp)I(Z/pZ)).

Применив далее теорему о разложении, мы видим, что доста­ точно установить вид разложения многочлена Фт(Х)то&р в «кольце FV[X] на неприводимые.

Из этой теоремы вытекает, что вид разложения (р) на про­ стые идеалы зависит только от значения pmodm. В частности, распадается в Окт'=Р^^ mod/п.

Полезное на­ (р) вполне блюдение состоит в том, что разложение (р) в 0кт опреде­ ляется действием элемента Фробениуса Frv в кольце О к 1{р), причем в случае p-f m этот элемент может рассматри­ ваться как элемент группы Галуа:

(Ftp:lm^lpm)^pmodme(Zlml) = Q(KjQ).

Для дальнейших приложений полезно переформулировать результат теоремы 2.4 с помощью характеров Дирихле %: (Z/ /mZ) x -^C x.

Кондуктором характера % называется наименьшее натуральное число ш(%) такое, что гомоморфизм % можно определить по модулю т(%), то есть пропустить х через естест­ венную проекцию:

(ZlmZ)x^(Z/m(%)Z)x^Cx.

Соответствующий характер %oxnodm(%) называется примитив­ ным характером Дирихле, ассоциированным с %. Тогда теорема

2.4 равносильна тождеству (п. 4.2.3) II(1—Nr*)= U(i-%0(p)p-s) (sec). (2.5) vj|(p) Xmodm Действительно, из теоремы вытекает, что левая часть имеет вид (l—p-fs)rii$vLp'frn9H(l--p-f'sY' при р\т, где /-порядок р mod т в (Z/mZ) x (соответственно, f — порядок p m o d m ' в (Z/m'Z)x). Остается проверить, что при р\ т справедливо тож­ дество (i_r/y=na-x(p)n. (2-е) Xmodm Пусть ^ - г р у п п а корней степени / из 1, тогда 1-Т*=* = П ( 1 - Г). Если учесть, что для любого бИу существует ровно г характеров %modm таких, что %(р)=, т 0 отсюда вы­ текает (2.6) и (2.5) [13], [286], [387].

2.5. Простые идеалы, показатели и нормирования. Альтерна­ тивный подход к теории делимости возник из анализа понятия jt-показателя orcLa Элемента афО, aR для простого элемента я из кольца R с однозначным разложением на множители:

ord{pi}a — это наибольшая степень и, делящая а в R и имеет место разложение a = ejtife-...л;*7*, где *=огсЦ a, eGi?x— об­ ратимый элемент из R.

Функция ordrt однозначно продолжается на поле частных К кольца R до гомоморфизма ordrt KX-*Z, так что выполнены свой­ ства

1) У a, bKx отйп(аЬ) = от1ка+ ordnby

2) У a, bKx brd- (a + b) min (ord^a, ord-тб),

3) а делит b в R*=*VrfQX&KcLQT&J),

4) nR = {aR\oxdna0} простой идеал в /?,

5) R={хб/Г | Vn ord,rJC 0} и {0}.

Обобщая, можно для произвольного поля К ввести понятие по­ казателя v как функции v : /CX-Z, удовлетворяющей условиям:

1) У a, beKx v(ab) = v(a) + v(b)

2)Va,beKx v(a + b)mln(v(a),v(b)).

Чаще вместо v используется нормирование \x\P}V: для фиксиро­ ванного р, 0 р 1, положим \x\p,v = pv(x\ |0|p^=-=0.

О п р е д е л е н и е. Нормированием | - | поля К называется такая функция #»--|х| с неотрицательными значениями, что

1) Va, b&Kx | a 6 | = |a|.|ft|,

2) Va,beKx \а + Ь\\аШЬ\, 3) |jc| = 0 ^ x - - 0.

Нормирование называется неархимедовым, если вместо ус­ ловия 2) выполнено более сильное:

20 va, beKx | a + 6 | m a x ( | a |, | * | ).

Так, функция |. \PtV является неархимедовым нормированием по определению. Нормирование вида \x\ = \x\0tV называется Дискретным. Примером такого нормирования является р-адичеa/&| p ==/? o r V~ o r V (a, 6gZ) поля Q.

ское нормирование Обычная абсолютная величина \х\ числа xQ задает (архиме­ дово) нормирование Q.

Если | • | —неархимедово нормирование /С, то подмножество С^{х^К | | л | ^ 1 } является кольцом с единственным максималь­ ным идеалом у = {х(У\ \x\Zl}, которое называется кольцом нормирования. Для дискретного нормирования | • | = ; (. j P t 3 по­ казателя v используется обозначение •/?«)—#, $(гз)=-4, причем &, —главный идеал, порожденный любым таким элементом я%К, что v(rt) = l, то есть и(л)==1.

Теперь теорию делимости на целостном кольце R с полем частных К можно строить с помощью семейства показателей 2=={t/}, если выполнены условия:

1) а делит Ь в R^^Yv^ v(a)^v(b)\

2) для всех а&Кх имеем v(a)=Q для почти всех иЕ (то есть кроме конечного их числа);

3) множество Riv)—{xK\v(x)^0}[){0} определяет v одно­ значно;

4) tf e n R*Если такое семейство 2 существует, то определена группа дивизоров 2)~2ъ как свободная абелгва группа с базисом 2, элементы которой записываются аддитивно как j^ki^t или ~ i мультипликативно как I I р^, и определен гомоморфизм i Класс колец с теорией дивизоров существенно шире класса дедекиндовых колец и допускает чисто алгебраическую характеризацию. При этом для построения показателей используется лишь часть ненулевых простых идеалов кольца. Если попытать­ ся для простого идеала yczR определить показатель и, положив для aGi? v(a)=m'm{n^0\a^n}t то это удастся лишь тогда, ког­ да локализация Rp (относительно у) кольца R является нётеровым целозамкнутым кольцом с единственным ненулевым простым идеалом, где R ^ = { x = a / b | a, bGjR, ЬЩ.

Идея использования нормирований вместо простых идеалов, возникшая при изучении алгебраических чисел, оказалась весь­ ма плодотворной в алгебраической геометрии, развитие котоРОЙ, в свОю Очередь, привело к ряду Открытий в самой теории чисел (см. ниже, гл. 3 и 4).

В заключение этого параграфа отметим, что все нормирова­ ния поля Q имеют вид либо | х | а ( 0 а 1 ), где \х\ —обычная

•абсолютная величина числа xQ, либо \х\ра(а0), где | # | Р — р-адическое нормирование хЩ (теорема Островского, (см. [13], [166]).

§ 3. Локальные и глобальные методы ЗЛ. р-адические числа. Идея расширения поля Q в теории чисел встречается в различных вариантах. Например, вложение QczR часто дает полезные необходимые условия существования решений, диофантовых уравнений над Q и над Z. Важное свой­ ство поля R—его полнота: любая фундаментальная последова­ тельность {ап}п=х в R имеет предел а (фундаментальность озна­ чает, что для произвольного е 0 малы абсолютные величины | а п — а т | е для всех п, т, больших некоторого натурального N=zN(s)). Кроме того, все элементы R являются пределами фундаментальных последовательностей {а п }^ в 1 с anQ.

Аналогичная конструкция существует и для всех р-адических нормирований | • | р поля Q (см. § 2):

\a/b\p=p0Tupb'0Tdpa9 |0|p-0 (ъЪ&.ЬфО) и приводит к полю /?-адических чисел Q P ZDQ. Эта общая кон­ струкция «присоединения пределов фундаментальных последо­ вательностей» относительно некоторого нормирования | • | по­ ля k называется пополнением. В результате получается поле k с нормированием, также обозначаемым | - |, причем поле k — полное, а k однозначно вкладывается в k в виде всюду плотно­ го подполя с сохранением нормирования [13], [270].

Как отмечено в конце § 2, все нормирования поля Q сводят­ ся либо к абсолютной величине, либо к | • | р, поэтому все по­ полнения поля Q —это либо поле действительных чисел, либо поля р-адических чисел Q p. Использование всевозможных вло­ жений QczQj- (р-простое число) и QczR часто значительно уп­ рощает ситуацию в арифметических задачах. Замечательный пример дает теорема Минковского—Хассе [13], [43], [166].

Уравнение Q(xux2i..., х п ) = 0, (3.1) заданное квадратичной формой Q(xu x2i..., хп) =%а{3х{х3, a{fiQ9 имеет нетривиальное решение в рациональных числах в том и только в том случае, когда (3.1) нетривиально разрешимо над R и над Qp для всех простых чисел р. Для нахождения решений уравнений над Qp можно эффективно применять приемы, взятые по аналогии из анализа над R, такие, как «метод касатель­ ных Ньютона» (лемма Гензеля, см. п. 3.2). Наиболее простым способом можно ввести р-адические числа как выражения вида a==ampm+am+lp™+l+..., (3.2) где Яг~{0, 1,...,р—1} —цифры (по основанию р), a mGZ.

Удобно записывать а в виде последовательности цифр, беско­ нечной влево:

–  –  –

й определив изоморфизмы конечных групп apn:UlUpn-+ZfpnZ, "-(3.4) доложив а *((1 +pe)a)=akodpn (aeZ).

Простая проверка показывает, что (3*4) корректно определены и являются изоморфизмами. Таким образом, группа U — это топологическая циклическая группа, в качестве образующей которой можно взять 1+р е. Другое доказательство следует из свойств функции, определенной степенном рядом Iog(l+*) =

l)n+lx*/n.

f'=I(—

–  –  –

(yj==1- гДе (уJ—символ Лежандр'а (см. п. 1.1.5));

б) при р = 2 m62Z и v**lmo.&B.

Разрешимость уравнения х2==а в Q p в условиях а) и б) внч водится из леммы Гензеля, а необходимость их вытекает шш более тривиальных рассмотрений modp и mod 8.

Как следствие мы получаем, что факторгруппа Q$/Qp2

а) при j 2 изоморфны Z/2ZXZ/2Z с системой представь телей {1, /?, «о, а/?}, ^ X J = = _ i ;

б) при Р----2 изоморфна Z/2ZX'Z/2ZXZ/2Z с системой пред^ ставителей { ± 1, zfc5, ± 2, ±10}.

3.3. Символ Гильберта. В этом пункте мы допускаем р = оо и считаем тогда, что Qoo-^-R. Символ Гильберта (символ норменного вычета)

–  –  –

' Р-7--С»",' * ' '"""" "

–  –  –

удовлетворяющий ур*авнению (o(x)pf-==co(x). Отображение со за­ дает гомоморфиам группы обратимых элементов кольца Ок на группу корней степени pf—1 из 1 в АГ, обозначае­ мую IV-i* а также изоморфизм to)x^,c^. (3.15) Строение мультипликативной группы Л? описывается анало­ гично (3.5): если lK:Qp]=d, то *х-я*Х0$, О^0к1к)ххик,.(3.16) где я: — образующая главного идеала р к (произвольный элемент Я6КХ с условием ordpjt-=i=l/e, ' ; ^-{^ii^ivi) эта группа несложно описывается как прямое йроизведение d экземпляров аддитивной группы Z p и конечной группы, состоя­ щей да корней из 1 /ьпримарной степени, содержащихся в К).

П р и м е р. Если е = 1, то расширение k/QP называе^я 134 ''''"" неразветвленным. В этом случае /=i и представители Тейхмюллера порождают К над QP, поэтому /C==QP( -/1)* где N= =p d —1.

Если e=d, то расширение KfQP называется вполне разветв­ ленным. К нрй-меру, если — примитинный корень степени рп из 1, то QP() вполне разветвлено степени d—pn—pn~l=(p(pn), причем (ср. с п. 2.4) 0 rd p (S-1)-=-—-^-r. (3.17) Поле Тэйта. Дли р-аДичееких чисел существует развитая теория аналитических функций, в которой роль поля комплекс­ ных чисел играет доле CP-=QP, которое определяется как поролнение поля Qp по его единственному нормированию с услови­ ем \р\р=р~х. Оказывается, что Cj, —алгебраически замкнуто.

Пбложим 0=={*еСр||*| р 1}, »*{^С,|Ы,1}.

Тогда О и у уже не компактны, и поле Ср не локально компакт­ но. Кроме того, O/^Fp

3.5. Нормализованные нормирования. Если F— произвольное локально компактное поле, то можно утверждать, что его топо­ логия задается некоторым нормированием. Этот факт выводит­ ся из существования на каждой локально компактной тополо­ гической группе G меры Хаара d\i, то есть меры, инвариантной относительно групповых сдвигов x^gx (x9 g&G):

J / W * (*).=- j f{x)dv(gx)=J f(g~ly)d\i(y) Q Q О для всех интегрируемых функций f : G - R. Такая мера опреде­ лена однозначцр, с точностью до положительной константы. Об­ щая конструкция меры d\k нам не понадобится ([15]), и мы ука­ жем лишь конкретные ее примеры.

Если G==R (аддитивная группа), то d\i=dx (мера Лебега) a6R. А если G = RX — мультипликативная груп­ и d(x-\-a)=dx, па у то d\i=dxlx, Если G = C, z = # + i r / C, то d[i=zdxdy.

Если /C/Q-p—расширение степени d и ^ = р — число элемен­ тов поля вычетов 0к1Ук, то мера d\i аддитивной группы К одно­ значно определяется числом SQ d(x==|x((7. K )=c0; при этом /С [i(a+p")=c7~ 1, т а к к а к в с е множества a+j) K (a&0K) имеют одинаковую меру ?*—= U (я+рк). Вообще, для гЛХ и аЫ( a mod $K имеШ ^{^+У0^сд^. (ЗЛ8) Всякая мера d\x на аддитивной группе локально компактно­ го поля F определяет нормирование ||-|| : tf^R^o- для 6F X число ЦаЦ есть множитель, на который отличаются две меры Хаара, d\i(x) и d^(ax) на F:.=I li(aU)=\\a\\n(U), (3.19) где / —некоторое открытое множество положительной меры р, (U)=J d[x (x). Свойство мультипликативности и ||ap|| = ||a|H|p:||-(a, p e f * ) (3.20) непосредственно следует из равенства (3.19). Если топология поля F недискретна (то есть не все подмножества открыты), то можно проверить, что диски конечного радиуса Z)r(a)== ={*|||#—аИ-О) компактны, при этом функция | • | —непрерыв-;

на, а значит, и ограничена на любом таком диске, в частности, ||1+аЦСдля Ца||1 (3.21) для положительной константы С1. Из (3.21) получаем нера­ венство:

Va, р ^ | | а + Й С m a x (||а||, ||р||) (3:22) более слабое, чем в определении нормирования в § 2. Такие функции называются обобщенными нормированиями. Если, на­ пример, F=C, то возьмем U={z=x-{-iy\ | z | ^ l }, тогда 1х(хюи) = \т\2\х(и), где \w\2=ww, и неравенство (3.22) выпол­ нено с С=4. Однако если для в'сех nGN выполнено неравен­ ство ||л||-^1, то С=1, так что II-Ц — неархимедово нормировав ние.

В частности, для расширения KIQP, [К: QA—d положим где j) K = (ЗХ). Тогда Ц Ц =r m =P~ M. Поскольку р~я е */(й6?к х ) а мы получаем ||p|| =,f-e=-*, а с другой стороны, = \0ж1р0ж\-1=р^ Ы\=р{рОк)Шж) откуда получается доказательство формулы d=ef.

3.6. Точки числовых полей. Формула произведения. Два (обобщенных) нормирования ||-||i и ||-||2 некоторого поля F (в см. п. 3.5) называются эквивалентными, если IM|i = |M|2* для всех xQF и константы с 0. Класс эквивалентных нормиро-* ваний поля F называется точкой поля F и обозначается буквой V, а символом Fv обозначается пополнение F по одному из экви­ валентных нормирований в классе У.

Теорема Островского (см. §. 2) означает, что точки поля Q —это v=p (р — простое число) или * = о о. Если точка г неархимедова, то той же буквой v обозначается показатель по­ ляг F, нормализованный условием v(F X)=Z.

Перечислим точки конечных расширений У поля- Q Для это­ го достаточно построить продолжения нормирований поля Q на расширение iv-поскольку- ограничение любого нормирования F на подполе Q дает одно из известных нормирований поля QБолее общо, пусть F/k—конечное сепарабельное расширение*.

поля k с нормированием \-\v (например, k=Q и v—p или t; = oo), ?(х)Щх] — неприводимый многочлен степени n=[F:k]^ корнем которого является примитивный элемент а расширения F/к, и пусть т /(.х) = ПЫ-*)Ш*)е-Ч-*1) (3.23 — разложение f(x) в произведение различных многочленов-.

gi(x), неприводимых над L, где L=kv (пополнение относитель­ но v).

В силу теоремы о тензорном произведении (см. п. 1.3) имеег место изоморфизм колец m F®LoMLi, (3.24 ••* i-i где Li^L[x]I(gi (-*;))-—конечное расширение I, в которое вклады­ F:%i:Fc~F®L-+Li.

вается поле В п. 3:4 мы видели, что на Li существует единственное нор­ мирование, продолжающее | -\v с L=kv (где оно задано как на пополнении). Будем обозначать это нормирование поля Li теш же символом |- \v и определим нормирование \-\v,j на поле F* положив для $FX '.МмЧММ1*. (3.25 Несложно устанавливается, что нормирования \*\v,j различ­ ны и что они являются единственными продолжениями | • |«.на поле F, при этом (3.24) является изоморфизмом топологических колец. Таким образом, существует не более чем n=[F:k] про­ должений нормирования \-\v поля k на F, которые совершенно явно задаются формулой (3.25), если считать, что разложение?

(3.23) известно и учесть, что по формуле (3.12)

–  –  –

Этот факт устанавливается с помощью формулы (3.26), в которой надо вместо F/k положить k/Q, учесть, что Nfe/Q.(a)€Qx и применить формулу произведения (3.11) см, (3.11).

Глобальные поля. Так называются поля, которые являются либо конечными расширениями поля Q (числовые поля), либо конечными сепарабельньши расширениями F e (f), где Fg — Поле из q элементов и t — трансдендентен над Fq (функциональные поля положительной характеристики) [133], [136], [446]. Во всех глобальных полях имеет место формула произведения и схожее описание всех нормализованных нормирований. Многие задачи о натуральных числах имеют полезные аналогии в функцио­ нальных полях. Эти аналогии изучаются более успешно мето­ дами алгебраической геометрии и являются богатым источни­ ком для интуиции применительно к числовому случаю (см.

§ 5 гл. 2, § 2 гл. 3 и § 5 гл. 4).

3.7, Адели и идели. В арифметических вопросах кольцо Z полезно рассматривать как решетку в R, то есть дискретную подгруппу аддитивной группы локально компактного поля R с компактной факторгруппой R/Z, изоморфной окружности. Ока­ зывается, для произвольного глобального поля k можно кано­ нически построить такое «наименьшее» локально компактное кольцо Aft, содержащее k как решетку (то есть k — дискретное подкольцо в Аь с компактной аддитивной факторгруппой AJk).

Кольцо Ал, называемое кольцом аделей поля k, строится с ис­ пользованием вложений k^kv (где v пробегает множество S = =2ft всех точек поля Щ как подкольцо в произведении П kv состоящее из всех бесконечных векторов a=(av)ve^ a^kVl у которых a^Ov для почти всех v (согласно п. 3.6, число архиме­ довых точек v не больше, чем n=[k : Q], поэтому почти все tf2 неархимедовы и определено компактное подкольцо CvczkV9 если k — числовое поле) Ak={a=~(av)eILkvlave0v для почти всех v]. (3.28) Топология hk определяется открытыми множествами вида. ^-П'-^хП^ (3.29) Ьде S пробегает конечные подмножества SczS, a Wv-*~Откры­ тые подмножества в k^. Множество W$ компактно (имеет ком­ пактное замыкание), если все Wv ограничены, поэтому А*. яв­ ляется локально компактным топологическим кольцом, в кото­ рое k вложено диагонально ; \ Э«»-Н(...а, а,...Ц-збАлС-П К |в силу п. 3.6 |а|-и-=1 для akx и почти всех tG2). Отметим, Чпо полное произведение П kv слишком велико и не является локально компактным: по определению топологии произведе­ ния проекция любого открытого множества UaTlkv на kv совv падает со всем kv для почти всех и, поэтому U никогда не яв­ ляется компактным, имея некомпактный образ при непрерыв­ ном отображении проектирования на координату kv.

Приведенная конструкция называется ограниченным топологи­ ческим произведением топологических пространств kv относи­ тельно системы компактных подмножеств uv, определенных для почти всех координат и. Сходимость последовательности {^n}*---.- a n = (an, t-)iAA-fe к ^-=(Pv)v6A означает, что для каж­ дого е 0 найдется такое конечное множество SczS и нату­ ральное N, что выполнены условия

1) YnN WQS a ™, M^

2) YnN Yves |«n,t—М**« * Каждый ненулевой главный адель а, то есть а = (... а, a,...)t,eft x c:Aft (3.30) можно отделить от нуля окрестностью вида (3.29), где S = •-={iG2|aft7t,}- поэтому k дискретно в А^. Компактность фак­ торгруппы Ak/k имеет содержательное объяснение с точки зре­ ния теории двойственности Понтрягина локально компактных коммутативных топологических групп: Ahfk изоморфна группе hr* всех непрерывных характеров дискретной группы k. Напом­ ним, что для локально компактной коммутативной группы G

-Группа ее непрерывных характеров G^Hdm c o n t I n (G, S1) (3.3!) l x (где S = {zeC \ | z | = l } ) также является локально компактной группой, причем G^^^G, и точной последовательности групп l-+Gl-»G-+Gr-+l.'i непрерывными гомоморфизмами отвечает точная последова­ тельность **рупп характеров. При Сопоставлении G*~G конечные группы переходят в конечные, дискретные группы—в компактные иобратно, а для связной группы G группа О не имеет кручения. Если # c G —замкнутая подгруппа, то ее аннулятор Н^{гФЫН)^\) (3.32) л изоморфен ( 0 / Я ).

В простом примере Z c R имеем Z A ^ S 1, S ! ^ Z, а группа R самодвойственна: R A ^ R (Числу *gR отвечает характер x*-+e27Ziix\ причем Z X ^ Z.,,.

Можно проверить, что аддитивная группа А и самодвойст­ венна и абА& отвечает характер (Р^х(°Ф))^ А, г Д е X — ПР°" извольный фиксированный нетривиальный характер Ak с уело-, вием %(k) = 1, при этом k^kx= (Ah/k)A.

Рассмотрим подробнее J = Q и кольцо A = AQ. Для а = = (at;)^A определяются дробные части {av} (при v = p надо воспользоваться цифровой записью (3.2) и положить {ар} = =a^.ip-1+... +атрт при т 0 ). Тогда для почти всех v име­ ем {агз}=0 и число {a}==S{av} —рационально. Характер х б А определяется по формуле Р-ехр(-2т{Роо}). П ехр(2я/{р„}), (3.33)

–  –  –

Факторгруппа A/Q в (3.34) компактна по теореме А. Н. Тихо­ нова о произведении компактов. Для произвольного числового поля k полезно использовать изоморфизм топологических ко­ лец \. A*^®AQ, (3.36^ из которого следует изоморфизм аддитивных групп Aji +) ^(A (+) )^, Ц*=[к : Q], а также утверждения о дискретности kczAh и комг пактности факторгруппы Akjk. Можно проверить также, что аналогичный изоморфизм имеет место для произвольного рас­ ширения глобальных пблей ^•.-.••ч •• ;: r.F/k:hp^F®Ak. ;. f, (3.37) Г р у п п а и д е л е й (см. [166], [446]). Множество обратимых элементов любого коммутативного кольца i? образует группу R* по умножению, в которой топология задается с помощью вло­ жения х*^(х, х~1) в топологическое произведение Ry}R для то­ го, чтобы взятие обратного элемента было непрерывной опера­ цией. Группой иделей Jk поля к называется группа обратимых элементов Акх кольца аделей А&. Группа /ь. представляет собой ограниченное топологическое произведение групп kvx по отно­ шению к компактным подгруппам Q v x, заданным для неархи­ медовых нормирований У-2.

3.8. Геометрия аделей и иделей. Вложение элементов чис­ лового поля k в его кольцо аделей А во многом напоминает & геометрическое изображение целых чисел 0=Ук в виде решет­ ки в R-алгебре 'Jlkv&Rri&C\ koo^km^ %:0^k„. (3.38) #|oo Эту аналогию можно провести значительно дальше. Рассмот­ рим меру Хаара \х на локально компактной (аддитивной) груп­ пе АА, которую можно задавать на открытых множествах Ws вида (3.29) по формуле М^-ПМ^.). (3.39) где \iv(0v) = l при tt-foo (то есть если я —неархимедова точка), d\iv=dx при kv^R (мера Лебега),.d\x v ^\dzf\dz\ = *ldxdy при 4pvLkvezC$z=aX + iy* Если $={$v}Jk — произвольный идель, то его содержани­ ем называется.множитель |[}|, на который отличаются две ме­ ры Хаара' \i($) и \i(x) на Ak:

(3-4°) |i(px)«IPll*W.

Из описания (3.39) меры \i ясно,, что | | = П \$v\v, где | • |„— v нормализованное нормирование из класса точки v: \x\v=x, если xBkv^R, \z\v=zz, если zGkv&C.

На компактной факторгруппе K%jk определим меру \х с по­ мощью общего понятия фундаментального множества: если Т — дискретная подгруппа в локально компактной группе G,

•то под фундаментальным множеством X для G по модулю Г понимается полное множество представителей классов смеж­ ности, обладающее дополнительными свойствами измеримости.

€ помощью ограничения меры Хаара а группы G на подмно­ жество X получается однозначно определенная мера Хаара на G/T, которая обозначается той же буквой, причем a ( G / r ) = Построение фундаментального множества X для AJ&: вы­ берем Z — базис ©и..., (On группы целых элементов 0akf который также является базисом векторного пространства &~ = =®R над R и задает изоморфизм 9 : R n ^ o p по формуле:

e({tfil...Hn)).-=?'StfiOfe Если обозначить через I промежуток 0 / 1 в R, то 6(/ п ) является фундаментальным параллело* граммом решетки О в *« (см. п. 1.3). Теперь в качестве X по­ ложим (фундаментальное множество для Aklk). (3.41) Для доказательства заметим, что множество А«+Л всюду плотно в Ад. Это утверждение известно как теорема об аппрок­ симации и является вариантом китайской теоремы об остатках (см, I, п. 1.1.5). Далее, &«Х П # 0 - - открытая подгруппа в Ал, значит, для любого JCGAJ- найдется такое число r\k, что х—г\& ^ о о Х П ^ - Условие того, что некоторый дуговой элемент ц'вк v обладает таким же свойством, равносильно тому, что r\—r\'№0v для всех неархимедовых точек v, то есть т]—т)'6-б?. Поэтому при подходящем выборе ц можно считать что проекция ум элемен­ та JC—т| на &о лежит в 0 (In) :yoo=Q(u), и1п, причем и опреде­ о ляется этим однозначно, что и требовалось.

Первое приложение построенной меры на Ah/k — простое доказательство формулы произведения (3.27): если рб&хс:/й—' главный идель, то $kx=kx в 4 и р определяет гомеоморфизм фактора А*/*, следовательно, две меры Хаара \i($x) и \i(x) обязаны совпасть, то есть в силу (3.40) мы получаем |pi-II|p| v --(i(pA*/*)/|i(A ft /A)-l* V

–  –  –

Другими словами, мера множества V(c') больше меры фунда­ ментального множества для Ah/k, стало быть, найдутся две различные точки у, y'GV(c')9 имеющие одинаковый образ в А, то есть у—у'вк и мы получаем для числа р==у—-у'Ьк*.

\$\v^m2ix{\yv\Vi \tjv'\v)^cVy если v неархимедова, \$\v^2max(\yv\v, ji//|„Xt, если «ER, \$\v;4max(\yv\v, \yv'\v)^cV9 если kv&C.

Лемма доказана.

Обратимся теперь к строению группы иДелей. Рассмотрим гомоморфизм | * |:/ f t -^R*, переводящий У = (уДбЛ в \у\ = =&Jl\yv\v. Обозначим через J\ его ядро, тогда J\ является замкнутой подгруппой, а в силу формулы произведения (3.27) kxczJk' Важнейшим результатом теории числовых полей является следующая Т е о р е м а. Факторгруппа J\lkx компактна.

Доказательство выводится из леммы Блихфельдта и подоб­ но выводу теоремы Дирихле об единицах из леммы Минковского о выпуклом теле (см. п. 1.6).

Эта теорема эквивалентна объединению теоремы Дирихле об единицах и теоремы о конечности числа классов (см.

пп. 1.6, 2.2), которые сами легко выводятся из этой теоремы с помощью рассмотрения следующих отображений.

Д и в и з о р и а л ь н о е о т о б р а ж е н и е. Пусть 4 — групг т а дробных идеалов (дивизоров), то есть свободная (аддитив­ ная) группа с множеством неархимедовых точек в качестве ба­ зиса. Определим uiviJk-^h, div((Xv))=j^v(xv)-v, (3.45) тде v обозначает, как было условлено, показатель для точки v условием T ( A * ) = Z. Тогда заметим, что div (/*)=*/*, посколь­ ку изменение одной лишь архимедовой компонент хОо-==(.хг,)г,|0О Если div(&x) =Рк — подгруппа иделя xJk не меняет div(x).

главных идеалов в дискретной группе h, то мы получаем эпи­ морфизм div: Jkl/kx-^Ik/Ph^Clk компактной группы на дискрет­ ную, образ которого компактен и дискретен, а поэтому и коне­ чен, Логарифмическое отображение и 5-единицы. Пусть SCZSA - конечное множество точек, содержащее множество 2оо всех архимедовых точек. Множество элементов r^k* таких, что 17110--=! для всех v$S, образует группу по умножению, которая обозначается Es и называется группой

-S-единиц.

Т е о р е м а об S. - е д и н и ц а х. Группа Es является пря­ мой суммой конечной циклической группы и свободной абелевой группы ранга 5 - 1, где s—число точек в S (см. [50]).

Доказательство подобно доказательству теоремы Дирихле (см. п. 1.4). Рассматривается логарифмическое отображение /:/^R+eR+e.,.eR+ (здб).? раз •(где R+ — аддитивная группа вещественных чисел), задавае­ мое формулой l( {*v)v) = (• • - - l o g J ^ U,... )vesЭто отображение непрерывно, а его образ содержит некоторый чбазис векторного пространства R5 (если S=Soo, то / — сюръективно).

С помощью отображений (3.45) и (3.46) несложно описать фундаментальные множества для Jklkx и Jllkx (см. [446,

-стр. 137—139]), а также вычислить объем \(J\lkx) относитель­ но меры Хаара f на J\r происходящей из разложения Лав/ix'Rj, тЦтХ^), (3.47) ъ котором Y = II^„—мера Хаара на Jk,

–  –  –

которые легко устанавливаются с помощью деления иделя абУ а на его дивизор div (a) == Д рр ар, который в данной ситуации р является рациональным1 числом; в результате получается эле­ мент a-sign(a 0 o)div(a)~ из правой части (3.51).

10—8171 6 145 § 4. Теория полей классов

4.1. Абелевы расширения поля рациональных чисел ([135], [166], [446]). Один из центральных объектов^ алгебраической теории чисел — полная группа Галуа G = G(Q/Q) поля Q всех алгебраических чисел над Q, а также ее подгруппы HczG ко­ нечного индекса, отвечающие конечным расширениям k/Q:

H=Gk = G(Q/k)c:G.

С топологической точки зрения G является компактной вполне несвязной группой с топологией проконечной группы (проек­ тивного предела конечных факторгрупп):

G=*hmG/Qk=limG(k/Q), k k где Gh суть подгруппы, отвечающие нормальным расширениям k/Q, которые тем самым замкнуты.

Теория полей классов доставляет чисто арифметическое опи­ сание максимальной абелевой (хаусдорфовой) факторгруппы Ghab=Gk/Gkc, где Gkc — замыкание коммутанта группы Gk, причем это описание дается для всех групп Галуа Gfeab произ­ вольных глобальных (числовых и функциональных) полей k.

Одна из форм описания группы Gfeab состоит в вычислении всех характеров (одномерных комплексных представлений) полной группы (?&.

Топологическое строение бесконечных групп Галуа подобно строению компактных аналитических групп Ли над полем /?-адических чисел Qp таких, как SL n (Z p ), Sp n (Z p ) и др. Идея применения аналитических методов, теории представлений групп и алгебр Ли к изучению групп Галуа бесконечных рас­ ширений получила большое развитие в последние десятилетия и связана с некоммутативными обобщениями теории полей классов (см. § 5 гл. 4).

Опишем вначале группу G Q \ основываясь на теореме Кронекера—Вебера о том, что любое абелево расширение поля Q, то есть расширение k/Q с коммутативной группой Галуа G (k/Q) содержится в некотором поле деления круга Кт= — Qitm), где w — примитивный корень из 1 (см. п. 1.2). Имеет место изоморфизм t|)m: (Z/mZ)x-*Gm=Gal(KJQ), (4.1) сопоставляющий классу вычетов a (mod m)(Z/mZ) х, (а, m) = l, автоморфизм e=oa:='§m(a)&Gm, заданный условием tm0===maАрифметический изоморфизм (4.1) позволяет рассматривать характеры Дирихле % : (Z/mZ)X~*~CX как одномерные представ­ ления p%:G-^Cxy группы G, посредством разложения

–  –  –

Для установления этого изоморфизма важно то обстоятельство,.

что элементы всех групп Gm, а значит, и Gab, имеют арифме­ тическую природу и отвечают простым числам. Именно, каж-« дому простому числу р, не делящему т, отвечает элемент Фробениуса а=оР : m--*mp. Множество всех простых чисел, переходящих в фиксированный элемент a6Gm, бесконечно по клас­ сической теореме Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии: оно совпадает с множеством простых чисел вида p = a+km (ЫХ), где о=^т(а). Автоморфизм о называется эле­ ментом Фробениуса Fr p по следующей причине: если рассмот­ реть кольцо 0т = Щт] всех целых элементов из Кт, то на факторкольце Ош\р0ш автоморфизм ор действует как автомор­ физм Фробениуса Yxv{x) = xv. При этом вид разложения идеа­ ла р0т на простые идеалы зависит только от образа простого числа р в группе Галуа Gm (см. п. 1.2). Идея сопоставления простому числу (простому идеалу) элемента группы Галуа (Э. Артин) приводит к изоморфизму (4.3), в котором элементу Фробениуса Fr p отвечает класс йделя 1, р, 1,...) B//R+xQ x.

« p = -(l f l Полю Km отвечает открытая подгруппа р\т рЛ-т причем Gm^J/UmQ* [53]. Именно в таком виде этот результат удобно переносить на общий случай группы Gk*b для конечных расширений k/Q. Заметим, что множество всех примитивных характеров Дирихле можно отождествить с дискретной группой характеров конечного порядка группы классов иделей посред­ ством проекции //QxsR$xIIz^(Z/OTZ)xsGm, Р поскольку такие характеры тривиальны на связной компонен­ те R*. Абелевы расширения поля Q взаимно однозначно соот­ ветствуют открытым подгруппам в //RXQ*, каждая из которых есть пересечение ядер конечного числа характеров Дирихле.

4.2. Элементы Фробениуса числовых полей и отображение взаимности Артина. Пусть К —числовое поле, [K:Q] = tiy 2°K — множество всех конечных точек (нормализованных дискретных нормирований) поля К, которые однозначно отвечают простым идеалам.рг=^=0 в кольце целых элементов 0К поля /С:

yv={x0K\\x\vl}.

Поле вычетов к(ъ) = 0к1% конечно, и его число элементов фазнр Ntf-—ре&*- где pv=cha.rk(v), / — степень поля k(v) над FPv. Нормализованное^ \-\v означает, что для х0к v (х) = — logur | х \v (| х \v=Nv-vW), (4.4) Индекс ветвления ev точки ^ — это число v(pv), и имеет место разложение /??#-== П р *.• vv(p)1 Пусть LjК — конечное расширение Галуа с группой Галуа G(LfK) и пусть w — некоторая точка поля L, которая продолжа­ ет точку v поля /С. Определим действие группы Галуа G(LjK) на нормированиях w (точнее, на множестве точек поля L) по формуле: w •- адо, I «* I с а д - " - 3 I -^ I го.

Если точки v, w — неархимедовы, $„, ф«, — соответствующие им:

простые идеалы, то аш определяется идеалом fpow.=«p10°. Авто­ морфизм Галуа oG(L/K) дает изоморфизм пополнений GW : Ью--Ьаю как нормированных пространств над /О Группа разложения Gw вводится как подгруппа Gw ={oG {LIК) \ow = w}czG (LIК). (4.5 По определению, Gxw={oG\eTW=w}=xGwx-. С другой сторо­ ны, из конструкции продолжения нормирований выводится, что* действие группы Галуа G(L/K) на множестве точек w, делящих:

и, транзитивно; следовательно, все подгруппы GwczG(L/K) со­ пряжены ([446]).

Группой инерции IwczGw называется ядро естественного го­ моморфизма Gw=G(LJKv)-*G(l(w)/k(v)) (l(w) —поле выче-t тов точки w).

Факторгруппа GwIIw^G(l(w)lk(v)) порождается G(l(w)/k(v)) =FrT0 : Fr^(Jtr) —xNtew элементом Фробениуса:

Нормирование w называется неразветвленным, если /W=={1};

тогда G^^Fr^; из определений следует, что Frtto==r~1FrwT ищ этом случае определен класс сопряженности элемента Frw в группе G(LIK), зависящий только от точки v. При этом все не-, архимедовы точки, кроме конечного их числа, неразветвлены;

для таких точек v положим FL/K(v)= (класс сопряженности Fr^,, w\v). (4.6) Если группа G(L/K) коммутативна, то правая часть (4.6) со­ стоит из одного элемента.

Закон взаимности Артина указывает расположение элементов Фробениуса FL{K(v) в коммутативных группах Галуа G(L/K)* Пусть S — конечное множество точек поля К, включающее все неархимедовы точки, а также точки, разветвленные в L//C. Обо­ значим через Is свободную (мультипликативную) абелеву груп­ пу с образующими ^ для точек v$S.

Тогда сопоставление v *- FL/K(v)G(L/K) продолжается до гомоморфизма FL/K:F^G(L/K)\ (4.7) который называется отображением взаимности Артина, :

( П iA - П FW (v)\ (4.7а) FLIK Теория полей классов дает явное описание ядра гомоморфизм ма (4.7) (см. п. 4.5). Утверждение о сюръективности отображен ния взаимности (4.7) было открыто раньше и вытекает из об-г 14»

Щей теоремы Чеботарева о плотности простых идеалов; эта теорема представляет собой далекое обобщение теоремы Дирих­ ле о простых числах в арифметической прогрессии (см. [109], |385], [166]). 0 Пусть Р — некоторое подмножество в множестве Ък всех неархимедовых точек поля К. Для каждого целого числа я1 обозначим через ах(Р) число точек vP таких, что Nox. Го­ ворят, что Р имеет плотность а^О, если существует предел Ш(ах(Р)1ах(Ц))=а. (4.8) л:-оо Не всякое множество имеет плотность. Например, если K*=Q, я Р — множество простых чисел, первая десятичная цифра ко­ торых равна 1, то Р, вообще, не имеет плотности.

По теореме о распределении простых чисел имеем ах(2к)~ ^xflogx, поэтому условие (4.8) эквивалентно асимптотике ах(Р) —ax/log x+o(x/logx). (4.9)

4.3. Теорема Чеботарева о плотности простых идеалов.

Пусть L/K — конечное расширение Галуа числового поля К и X — подмножество в G(L/K), инвариантное относительно сопря­ жения. Обозначим через Рх множество точек aGS°-, неразветвленных в L, таких, что класс элемента Фробениуса v лежит в X-:FL/x(v)czX. Тогда плотностть Рх существует и равна

Card"X/CardG(I//C):

Доказательство основано на аналитических методах; вводит­ ся понятие аналитической плотности (плотности Дирихле) мно­ жества Р как,предел Nz r ( 4Л °) 2 *Доказательство существования и вычисление предела для мно­ жества Р—Рх можно провести с помощью L-функций Артина (см. п. 4.2.2); отсюда уже выводится утверждение о плотности множества Рх в смысле (4.8) ([166], [50]).

4,4 Закон разложения и отображение взаимности. Если L/K—абелево расширение, то закон разложения простого идеа­ ла % в CfL полностью определяется порядком f элемента

FL/K(v)G(L/K): в этом случае p t ? = ^ 1... ? «,, где s G(L/K) : а», причем f=f(wjv) = d e g wj&eg v=[l(w{):

ik(v)] — относительная степень поля классов. Этот факт выте­ кает из транзитивности действия группы Галуа G(L/K) на точ­ ках w, делящих v. В частности, точка v полностью распадается (то есть / = 1 и v неразветвлена) тогда и только тогда, когда Fz.,K(v)=ieG(L/K).

Из теоремы 4.3 видно, что конечное расширение Галуа ЦК однозначно определяется {в фиксированном алгебраическом замыкании К) множеством SplL/ic точек, вполне распадающихся в L/K. Закон взаимности Артина дает, в частности, описание это­ го множества, если расширение L/K — абелево. Для неабелевых расширений пока существуют лишь примеры описания Splx,/*-;

однако эти примеры служат основанием весьма общих гипотез (программа Ленглендса, см. § 5 гл. 4), определяющих основное направление исследований в современной алгебраической тео­ рии чисел.

4.5, Ядро отображения взаимности. Для формулировки точ­ ного результата о ядре отображения (4.7) напомним, что отно­ сительная норма Ni./K(u2J) точки w из конечного расширения ЦК числового поля К определяется как %Hw/v) (или f(w/v)-v в аддитивных терминах), где / (wlv) = [t(w):k(v)]==logNvNw — относительная степень поля классов вычетов. Кроме того, рассмотрим дивизориальное отображение (см. (3.45)) divs:Kx-+Is, div5(a)=n^(fl)e/^

–  –  –

Тогда символ Артина определяется равенством (^^/^«^/^(dlvtas))^^^^).' (4.15) Следует особо подчеркнуть, что для корректной определен­ ности символа Артина на иделях ((4.15)) существенно, что вы­ полнен закон взаимности на идеалах в форме (4.13). Действи­ тельно, условие на элемент а в (4.15) выполнено, если div (a)GPL/-(f) при подходящем выборе f. Теперь закон взаим­ ности (4.13) переходит в утверждение о том, что Keri|)L/K сов­ падает с KXNL/KJL, где NL/KJL — подгруппа относительных норм иделей из JL: -, N^((P.)J-(IlNz e / ^(pj). (4.16) Таким образом, символ Артина 1[~/л- (4.15) определен для классов иделей S,CK = JKIKX, причем Рцк(^)===^1/к(^\ где s(v)— это класс иделя (..., 1, я,, 1,...) я-Ж,,* — локальная униформизующая, то есть элемент с условием 0(л„) = 1). Го­ моморфизм ^ь/к:Ск-+0(Ь/К) непрерывен и его ядро открытозамкнуто опять в силу (4.13).

4.7. Глобальные свойства символа Артина. Пусть Я —под­ группа некоторой конечной группы G, тогда определен гомомор­ физм переноса Ver:G/[G, G}^HJ[H, H\ (4.17) для которого Ver(g[Q, О]) = 1 1 h(g,r),.где г пробегает систему представителей левых смежных классов R для GjH, а h(g, r)eff определен условием gr=grh(g, г), где greR — представитель Ллж gr в./?.

1) Существует взаимно однозначное соответствие между откры­ тыми подгруппами UCZCK И конечными абеле^ыми расширениями I/АГ, причем символ (4.15) индуцирует изоморфизм CKIU~ ^G(LIK), ядро U которого совпадает с норменной подгруппой:

U^NLIK(CL)(m. (4.16)). •

2) Пусть К'/Х — произвольное конечное расширение. Тогда для аСК' справедливо равенство (N*'/*(oO, LlK) = (a; LK'IK'). (4.18)

3) Пусть U IK — конечное нормальное расширение, L/K— максимальное абелево подрасширение V \К и К' — промежу­ точное подполе в L'/K, над которым U абелево. Тогда (a, L7/')=Ver(a,L/it), (4.19) где Ver — гомоморфизм переноса (4.17).

4) Пусть L'/K— (нормальное) подрасширение расширения:

LfK тогда для всех а&Ск справедливо равенство (а, L'/K) = (a, ЦК). _ (4.20)

5) Пусть а—изоморфизм поля К на о/С, cr€Aut/(. Тогда для всех абС к справедливо равенство (aa, GL/GK) = x(a, L/K)o~K * (4.21) Черта в предыдущих формулах означает ограничение автомор­ физма на подполе ([166], [275], {135], [446]).

Эти свойства позволяют распространить определение сим­ вола Артина на бесконечные абелевы расширения L/K. Соот­ ветствие $»-*($, L/K) = hm(s, LVIK\ (4.22) V где LJK пробегает все конечные подрасширения L/K, позволяет определить при помощи свойства 4) отображение из Ск в G(LIK), образ которого всюду плотен. Поскольку подгруппы конечного индекса в Ск и G(LIK) находятся во взаимно одно­ значном соответствии, группа G(LIK) изоморфна проконечному пополнению группы Ск и совпадает с факторгруппой группы Ск по ее связной компоненте, а гомоморфизм удовлетворяет правилам преобразования 2), 4), 5),

4.8. Связь символа Артина и локальных символов. Предпо­ ложим, что символ Артина на иделях (4.15) существует. Для конечного абелева расширения L/K, неархимедовой точки v по­ ля К и ее продолжения w на поле L рассмотрим пополнения Kv и Lw и группу разложения GvczG(L/K)y GV^G(LJKV), которая в абелевом случае не зависит от выбора w. Рассмот­ рим вложение iv : KVX^JK и проекцию на ^-компоненту jv : /-г-*~

-*~KV*, где iv отображает xKvx в элемент JK, У которого rj-компонента равна х, а остальные компоненты равны 1. Положим ^ = ^z/ir==(% LWIKV)V. (4.23 Тогда можно проверить, что образ гомоморфизма % лежит в группе разложения Gv. Гомоморфизм if„ : Kvx~+Gv называют ло­ кальным гомоморфизмом Артина (или гомоморфизмом норменного вычета). Если x—(xv)&JK, то справедливо разложение 153»

(4-24)

•Ф1/*(х).-Пяы.**).

V поскольку x==lim (Л s iv(xv)\ s \*e I (предел по возрастающему семейству {S} конечных множеств точек поля /С). Произведение (4.24) на самом деле конечно, так как если компонента xv является ^-единицей и v неразветвлена, то xv является нормой в Lw/Kv: для некоторого yw&Lw имеем xv=Niw;Ktf(yw), причем существование yw устанавливается по лемме Гензеля (см. п. 2.3.2).

Таким образом, знание всех локальных отображений Артина фи эквивалентно знанию глобального отображения Артина *фъ/к- В классических работах локальные отображения изуча­ лись при помощи глобальной теории; в частности, было пока­ зано, что они зависят только от локального расширения LWIKV и не зависят от глобального расширения L/K, из которого они были выведены.

Современное изложение теории полей классов (например, в книге [166], [446]) в этом смысле противоположно классическому: сначала дается независимая и чисто локальная конструкция отображений 6*: К$ ~GV = G (L9f#v), (4.25) где L° — некоторое конечное расширение Kv Затем доказы­ вается, что произведение Я Qv удовлетворяет тем свойствам, которые однозначно характеризуют гомоморфизм -фь/я, причем важнейшая часть доказательства состоит в проверке формулы произведения:

.П-е*(а)==-1 для всех аеКх. (4.26) V В случае квадратичяогр расширения L=K(VT) образ Qv(a) при­ надлежит {±1} =- Gal (L/K) и совпадает с символом Гильбер­ та, определенным в п. 2.3.3, а формула произведения, установ­ ленная в п. 2.3.3, эквивалентна квадратичному закону взаим­ ности Гаусса, который тем самым становится частным случаем общего закона взаимности Артина (4.13).

Конструкция отображения (4.25) для произвольных абелевых расширений L°/Kv обычно проводится средствами теории когомологий Галуа (см. § 5, а также [384], [166], [275], [383]).

Более непосредственную конструкцию Qv предложил не так давно Хазевинкель [236], [38] на основе явного анализа когомо­ логических конструкций в малых размерностях.

4.9. Свойства локального символа. Для символа эти свойства вполне аналогичны свойствам 1)—5) из п. 4.7 с заменой CK^JK/KX на KZ, G(LjK) на * Gv и yLIK на 6„.

'Кроме того, гомоморфизм е* отображает группу единиц Uv = 0* тля Kv на группу инерции IwaGv. Если LJKV ^разветвлено, то^Для любого a^Kv имеем M*)-=Fr*(a), (4.27) где FTVGGV—элемент Фробениуса расширения и показатель v поля Kv нормализован условием ю(К*)=*Ъ. Так же, как и %/-, докальный символ можно перенести на бесконечные абелевы расширения и определить гомоморфизм QV:K*-+G(Klb/Kv), где Kl — максимальное абелево расширение Kv, и мы получаем.опи­ сание группы Талу а G{KlblKv) = {K%Y^lx0% (4.28) А (вдесь обозначает проконечное пополнение). При изоморфизме (4.28) груша Галуа G{KvTIKv)^G{qjFqv) максимального неT разветвленного расширения Kl поли Kv переходит в Z, а груп­ па инерции IW = IV изоморфно отображается на всю группу еди­ ниц С%:

QV:C^IV (4.29) Т (поле К1 можно определить как максимальное расширение К, для которого продолжение показателя ю (см. п. 2.3.4) удовлетво­ ряет условию v(KlT )==-Z).

Ниже приведена замечательная явная конструкция максималь­ ного абелева расширения локального неархимедова поля Kl, обрбщающая описание Qj b с помощью присоединения корней из 1 к полю Q p.

4.10. Явная конструкция абелевых расширений локального поля и вычисление локального символа (см. Любин—Тэйт [304], Серре[383], [166] В. А. Кольшагин, [46]). Рассмотрим сначала модельный пример поля Qp, у которого любое абелево расширение содержится в круговом, то есть Qp ==Qp(^oo), где Woo= U.Wnf Wn=~$eQp\n = l}r W^-множество всех корней из единицы из Qp. Пусть WD00 = U W т — подмножества всех F p p m0 корней из 1 /мтримарной степени, а Кос--- U ^—корней из 1 степеней, не делящихся на р. Тогда и имеет место разложение G (QlblQp)^G(Qp(V^)/Qp)xG(Qp(Wp0o)lQpy (4*30 Здесь Qp(Кос)—максимальное неразветвленное расширение (см.

пример из п. 3.4), для которого tvp(Qp(VQc)x)=Z и 0(Q p (^oo)/Q p )-—0(F-/F p )s2J- Fr p ) \ (4.31) а поле QP(W «,)== и Q p ( ^ *-) является объединением всех вполне р р т разветвленных абедевых расширений Q p. Группу Галуа G(Qp(WpOQ)lQp) можно описать с помощью ее действия на.мно­ жестве W о корней из 1 р-примарной степени; Для этого о заметим, что E n d f l ^ s - Z -, AutlF p 0 0 sZ*, сопоставив р-аДическому числу а=а0 + ахр + а2р\+ • • • &?

в цифровой записи (3.2) эндоморфизм [а]:5-*а ддя б ^ ° ° :

–  –  –

являющиеся группами относительно операиии, заданной формулой wlow2==w1 + w2+WiW2 (wl9 w2eEpO0\ причем для всех wQEp00 имеем | а д | - 1. При этом Ер состоит из корней многочлена который после деления на X становится неприводимым (по условию неприводимости Эйзенштейна), а его корни порожда­ ют поле Qp( p ) степени р—1 над Q p.

Ш

Рассмотрим итерации многочлена fv(X):

/ W ^ ) - / p _ ( / p ( X ) ) = ((X + 1 ) " - l ' - l, Тогда группа Ерт совпадает с множеством корней многочлена fpm(X) и изоморфна р~тЪр\Ър\ очевидные вложения EpmCzEpm+i при этом изоморфизме становятся вложениями /T m Z p /Z p c C/r m_1 Z p /Z p, и мы видим, что Ep00mQplZp, Endp0o--Zpp(Epoo)=*Qp(Wpoo\ а изоморфизм (4.32) принимает вид bp:G(Qp(Ep00)lQpnAut Ep00^Z^ (4.33) Аналогичное построение можно провести для любого конеч­ ного расширения Kv поля Qp с кольцом нормирования 0V, максимальным идеалом ^ = ( я ) с образующей я, у(я) = 1, и пусть ?= |7-y/p" |. Рассмотрим многочлен f„(X)=nX+X*9 (4.34) тогда многочлен 1„(Х)1Х = к+Х^- неприводим по критерию неприводимости Эйзенштейна. Последовательно определим итерации Тогда множества корней многочленов fnm(X), Wf,m~{x&Kv I fj*(X)=*0) (4.35) вложены друг в друга: Wf,mc:WftM+u и на (4.35) можно опре­ делить структуру группы, изоморфной $-m/6v(^0vly™), относи­ тельно крторой вдожения множеств Wf,mczWfim+\ становятся вложениями групп ^m\Ov(^%m-x\0^ В результате получается группа, аналогичная группе всех корней из 1 р-примарной степени:

Wf)00=~ U Wf,n изоморфна KVI0V, (4.36) т1 и определено действие элементов ae.Cv^EnuKvl^v на Wfrto* обозначаемое символом [a]f: x*+[a]fx, причем справедливо ра­ венство [n]f (х) = / я (х).

Действие группы Галуа на корнях многочленов f^(X) дает некоторое представление, аналогичное (4.32):

G(KJKo)-+kutWf.„sz0*.

(4.37) Обозначим символом К* поле, отвечающее ядру гомоморфиз­ ма (4.37), тогда Кп — абелево расширение Kv в силу изомор­ физма 6v:Q(KJK9y20?, (4.38) и мы получаем описание всех абелевых расширений поля Kv:

Klb = K™-Ktb где -K™^Kv(Voo) — максимальное неразветвЛенное расширение поля Kv (Кос— группа всех корней из 1 степени, не делящейся на р)9 Q(K?IK9)e*G(FqIFq)&Z= Fr,, (4.39) #«=-=- U Kv(Wf,m)— объединение всех вполне разветвленных абелевых расширений поля KvОписание символа норменного вычета:

1) Для UG0vx элемент Qv(u) = (u,Kn!Kv)v действует на Wf о с помощью элемента [u~l]f.

о

2) Символ норменного вычета (я, KJKv)v равен 1.

3) Символ е*(а) элемента а = я т и (/rceZ, я 6*??) Действует на #2 г как FrfeGiKZ/Kv).

Замечательная особенность конструкции группового зако­ на на множестве lF/00 состоит в том, что поле Кя не зависит от выбора униформизующей тс и многочлена f(X)G(Jv[X\, от ко­ торого лишь требуется выполнение следующих свойств 1) /(J)-—-nJ(moddeg2), (4.40)

2) f(X)**X*(modn). (4.41) Больше того, вместо многочлена f можно использовать любой элемент множества ^я степенных рядов f{X)G(Jv[[X\] со свойст­ вами (4.40), (4.41).

Построение указанного группового закона проводится с по­ мощью теории формальных групп [формальные законы Люби-на—Тэйта).

4.1 L Абелевы расширения числовых и функциональных по­ лей. Для поля рациональных чисел Q теорема Кронекера—Вебера (п. 4.1) также дает явное описание всех абелевых расши­ рений с помощью действия группы Галуа на корнях из 1, которые можно рассматривать как специальные значения экспо­ ненты: n-=exp(2jw//i). Аналогичная теория существует и над мнимым квадратичным полем /C=Q("|/d), абелевы__расширения которого строятся с помощью действия группы G(K/K) на точ­ ках конечного порядка эллиптической кривой с комплексным умножением (точнее, на координатах этих точек, см. § 4 гл. 3), что составляет содержание теории комплексного умножения;

в более классических терминах абелевы расширения описы­ ваются с помощью специальных значений эллиптических функ­ ций и действия Gal (К/К) на эти значения («Jugendtraum», «мечта юности» Кронекера). Знаменитая двенадцатая пробле­ ма Гильберта состоит в том, чтобы для произвольного числовое го поля Кг [К: Q ] оо указать способ построения всех абеле­ вых расширений с помощью действия группы Галуа на специальные значения некоторых специальных функций (таких, как экспонента и эллиптические функции). Определенный про­ гресс в решении этой проблемы достигнут для полей СМ-типа»

то есть вполне мнимых расширений вида K=F(y—а) вполне вещественного поля F. Это означает, что F порождено корнем многочлена с рациональными коэффициентами, который над R разлагается на линейные множители, а число aF — вполне положительно, то есть положительно для любого вложения F в R. Эта теория основана на изучении многомерных абелевых многообразий с комплексным умножением на элементы из К.

Для вещественных квадратичных полей К описание некоторых абелевых расширений составляет содержание теории «вещест­ венного умножения» Шимуры. Однако в указанных случаях ситуация менее удовлетворительна, чем для Q и для мнимого квадратичного поля К, так как эти конструкции не дают всех абелевых расширений основного поля. Иное положение дел в функциональном случае конечного расширения К поля рацио­ нальных дробей Fq(T). Здесь имеется превосходное описание всех абелевых расширений К в терминах эллиптических моду­ лей В. Г. Дринфельда (и соответствующих им эллиптических функций в положительной характеристике, см. [193]).

Идея описания расширений поля К с помощью действия G(K/K) на некоторых группах и на других алгебраических объ­ ектах является очень плодотворной: на ней основаны многие примеры явного построения и неабелевых расширений основ­ ного поля К. Полное описание таких расширений в терминах представлений Галуа и связанных с ними объектах анализа и алгебраической геометрии является составной частью гран­ диозной программы Ленгледса, см. § 5 гл. 4.

§ 5. Группа Галуа в арифметических задачах 5,1. Задача деления круга на п равных частей [216], [26] по форме является геометрической, однако ее решение, данное Гауссом, в существенном опиралось на арифметические рас­ смотрения. Построение правильного семнадцатиугольника — это первое математическое открытие Гаусса, записанное им в дневник 30 марта 1796 года, за месяц до того, как ему испол­ нилось 19 лет. До этого были известны способы построения правильного треугольника, пятиугольника, пятнадцатиугольника, а также тех многоугольников, которые получаются из них путем последовательного удвоения числа сторон. С алгеб­ раической точки зрения построение правильного /г-угольника эквивалентно тому, чтобы на комплексной плоскости построить корни степени п из 1, то есть корни уравнения Х»-1-0, (5.1) имеющие вид ^^cosM + jsin^i^exp^), -0,1,...,*—l.(5.la) Предположив заданным отрезок единичной длины, можно при помощи циркуля и линейки строить новые отрезки, длина кото­ рых получается из длин имеющихся отрезков при помощи сле­ дующих операций: сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня. Последовательное проведение этих операций позволяет строить любое число г —а на комп­ лексной. плоскости, лежащее в таком поле L, которое является объединением башни квадратичных расширений:

I==Lm._5Lm—i=D...=)Li=DLo-=Q, (5.2) где Ьг+\=Ь{(Уй{), di^Li, и можно доказать, что никакие другие точки комплексной плоскости не могут быть построены цирку­ лем и линейкой, исходя только из точки 2 = 1.

Поэтому способ построения величины z=a (если он существу­ ет) дается построением башни полей вида (5.2) дЛя поля L, порожденного множеством корней неприводимого многочлена f(X)Q[X] с одним из корней, равным а (поле разложения мно­ гочлена f). По теории Галуа, квадратичному расширению LJQ отвечает подгруппа Gi = G(L/Li), имеющая индекс 2 в группе всех симметрии Галуа G0 = G(L/Q) множества корней много­ члена f(X). Действие подгруппы Gi разбивает это множество на две части, причем сумма всех элементов каждой части ле­ жит в Li и порождает его, являясь инвариантной относительно автоморфизмов из G\. На следующем шаге каждую из этих частей надо разбить на две части с помощью действия на кор­ ни элементами подгруппы G2=G(L/L 2 ) (индекса 2 в Gi) и т.д., пока не получим подмножество корней, состоящее из одного элемента z = a.

Например, для корня из 1 a = e i из (5.1а) неприводимый многочлен f(X) - э т о круговой многочлен Фп(Х), корни кото­ рого Е& ((k, n) = \) являются примитивными, а симметрии Га­ луа имеют вид cr fl :e^^s«-=8 feam0dn (ae(Z//zZ)x).

Для п = 5 имеем Go={ai, a2, 03, -4}, а подгруппа G\ = {o\7 04} дает разбиение множества примитивных корней на две части:

{е ь е4} и {е2, е 3 }. При этом Фв(х) =x*+)cz+x2+x+l, откуда Положив й = е1 + мы получим из (5.4), что

–  –  –

откуда следует построение правильного пятиугольника.

В случае /г =17 интуиция Гаусса подсказала ему способ груплировки корней многочлена (Di7(x) =х 16 -|-# 15 +... + 1 с по­ мощью симметрии, хотя теории Галуа еще не существовало!

Группа симметрии G 0 =(Z/17Z) X является циклической поряд­ ка 16 с образующей 3 mod 17 (первообразный корень), и идея Гаусса состояла в том, чтобы перейти к более удобной нумера­ ции корней (см. рис. 13). Присвоим корню гн новый номер /

Рис. 13::

(обозначается etz-), если &=3zmbd 17, / = 0, 1,..., 15, и пусть Тг обозначает автоморфизм ak. Тогда TiBim] = Bim+i] {mj mod 16) (5.3) и соответствующие подгруппы имеют вид;

GQ={TQ, Ти... 7ТХ5}, G2—{Го, --"-ь Ti, Ti2}, Gx = {То, Т%,..., Гн}, G 3 = {To, Т 8 }.

Приведем реализацию только что описанной идеи. Прежде все­ го, заметим, что Si + e2+- -. • +в1б==в[о] + гЗ[1]+.',,+S[i5]==--l (5.4) (сумма геометрической прогрессии). Обозначим через аШ)Г сум­ му e-Z] с теми номерами Z, которые дают остаток г при делении на т. Получаем ^2,0 = в[0] -Ь е2] + -. - + 8(14] == ^

–  –  –

+ (1 /4). "1/17+3/17 - } Л 70 + 38/If", что уже дает возможность построить правильный 17-угольник при помощи циркуля и линейки., В общем случае я-угольника с п=2грг^... /-*, где / ? • - суть нечетные простые числа, мы видим, что Рассмотрение башни (5.2) квадратичных расширений показы­ вает, что возможность построения правильного п-угольника равносильна тому, что число является степенью двойки, то есть n=2 r pi...p &, причем все pi суть простые числа вида р^?рч + 1. Из простоты числа р{ сле­ дует также что показателе т* сам должен быть степенью двойки, так как т\ делит pi—1 по теореме Лагранжа для цик* лической группы (Z/p2-Z)x, и мы получаем, что построение воз­ можно только для чисел вида n-=2 r pi..,р 6, где pi суть различ­ ные простые числа Ферма pi = 2 2 ^ + 1, о которых шла речь в 1Г п. 1.1.2. Доказательство этого утверждения Гаусс не опубли­ ковал: «Хотя границы нашего сочинения не позволяют провес­ ти этого доказательства, мы думаем, что надо все же на это указать для того, чтобы кто-либо не пытался искать еще дру­ гих случаев, кроме тех, которые указаны нашей теорией... ш не тратил бы зря своего времени».

5.2. Расширения Куммера и символ степенного вычета ([166], [275]). Пусть дано поле К, содержащее примитивный.

корень степени га из 1, где m — фиксированное натуральное число, которое не делится на характеристику поля К. Пока­ жем, что циклические расширения ЦК степени, делящей m —- это так называемые куммеровы расширения К{тУа)/К (аК)* В приложениях поле К является либо числовым, либо его по­ полнением. Любое расширение L/K, содержащее корень а мно­ гочлена Хт—а, содержит все его корни а, а,..., Zm~~la. Пусть о — элемент группы Галуа G{K(yra)jK). Если выбран корень ш уравнения Хт=а, то автоморфизм а вполне определен, если известен образ элемента а при действии а : а 0 = ьа. В част­ ности, если а — элемент порядка т в мультипликативной груп­ пе Кх1Кх'т, то многочлене—-анеприводим и аг является т~Ш степенью только в том случае, если т\г. В этом случае отобра-т жение ai-^frmodra дает изоморфизм группы Галуа G{K(ya)/K} на циклическую группу Z/mZ.

Пусть теперь L — произвольное циклическое расширение' степени т поля К. Явно построим такой элемент 6 ~/С, что L = = К('уЛгЬ). Пусть о — образующий элемент циклической группы G(L/K) и пусть Ь = К(ч) для примитивного элемента ч^Ь. Тог­ да элементы -у, *у а,..., уаГП~~1 образуют базис L над полем КОбразуем сумму т—-1 р= 2^ (5.5) $.----о Тогда р^-г—^р и р=0, пбскольку элементы Y» ч0,..., T°m~* линейно независимы над К; следовательно, $тЪК и 5r6j( при 0 r m, то есть [}w-=& является элементом порядка т в фак­ торгруппе Кх/КХт, и предыдущее рассуждение показывает, что»

поле К($) является циклическим расширением степени т, со­ держащимся в X, так что L^Kif^b). Подобным же образом проверяется, что два циклических расширенияА^тАх) и К{уЩ поля К одинаковой степени совпадают тогда и только тогда г II* 16* жогда a=brcm для некоторых се/С.и r€Z, где (г, т ) = 1- Приве­ денные утверждения можно объединить в одно, сказав, jrro для данного поля А=э|лт и его группы Галуа GK=G(A/A) чимеет место изоморфизм Ax/AXw^Hom(GK, 1хт), (5.6) m 4im={^K\i =l} (изоморфизм Куммера). Для построения •{5.6) по данному а$Кх выберем ^ Кхс условием чт = а и для ®GK формула Ц)а(о)=уа/у задает тогда некоторый гомоморфизм ра: Gxr+iim. Тот факт, что этим задается изоморфизм (5.6), вы­ текает из общей теоремы Гильберта 90 о когомологиях мульти­ пликативной группы: Hl(GKi Ах)=={0} (см. п. 5.3).

Пусть теперь К — числовое поле, [imcAT, $=*Vv— простой Дивизор, отвечающий неархимедовой точке v поля К- Разложе­ ние простого Дивизора j поля А' в поле А' (-/"а) сводится к изу­ чению расширения Kv {y^a) локального поля (по теореме о про­ должении нормирований (п. 3.6). Можно считать, что а лежит в кольце ^ к целых элементов поля А, и предположим, что :у\ та. Тогда разложение максимального идеала уаОк опреде­ ляется по разложению многочлена Хт—а modp над полем 0к№ {по лемме из п. 2.3); это разложение состоит из попарно раз­ личных неприводимых множителей степени f, где f — степень поля классов вычетов: наименьшее такое натуральное f9 что сравнение af^xm(mod $) разрешимо в 0Kfy- При этом идеал у неразветвленв1=К(^а),п)р=%1.... -$Wr (f.r=m).B частно­ сти, р вполне распадается, если / = 1, то есть сравнение хт^ *^а mod p разрешимо.

Определим символ степенного вычета. Для этого обозначим через S множество точек поля А, которые или делят /п, или являются архимедовыми, а для элементов аи..., afiKx обозна­ чим через 5(а ь..., а-) множество всех элементов из 5, а также тех нормирований и, для которых |а г |*#1 при некотором и Для абАх и точки vkS\a) определим символ степенного вычета \~)^т с помощью равенства Va (5 7)."(тК* где L=K{ya)r / 1/я(^)б(7(1/АГ)--гло5альный символ Аршина |(см,п. 4.6). Число |—:)бНт не зависит от выбора ^\/"а и прове­ ряется, что

–  –  –

2) сравнение jvm=a (mod yv) разрешимо при x0v;

3) уравнение ^т=а разрешимо при x&Kv- (Решение сравнен ния 2) можно поднять до решения уравнения 3) по лемме Генч зеля над кольцом 0V, см. п. 3.2.) Для целого идеала Ъа0к значение символа (-?-) зависит только от a mod ь, если а0к. Таким образом, определен характер сте­ пени т:

%ъ:(Октх-»1*т, Х * ( * ) - ( у ) - (5.12) К уб ический з а к о н взаимности. Пусть Лг=-0(^з)=31 = Q(]/" —3), т = 3. Тогда 0к=1[г]—-кольцр главных идеалов и если р = j)w = (я) для простого элемента я, то будем использовать обозначение ( —) вместо (—) Для кубического символа. Назовеь!

простой элемент я примарным, если я - ^ т х ^ З, то есть или л==9 — простое рациональное число, ^---^modS, или Ыя== =/?=--1 mod 3, яи2тос13. Проверяется, что среди образующих У t3, существует ровно одно примарное число. Пусть 1=(Я1)?

»

?2=(я 2 ), яг, Я2—примарные числа, и N.pi-7-Ny2=3. Тогда cnpa*.

ведлив закон взаимности ([199], [255])

-i).(-i-). 5ЛЗ) Б и кв а. д-р атичный з а к о н в з а и м н о с т и. Пусть т*щ\ = 4, K=Q(i), QK = Z-i] — целы гауссовы числа. Назовем а&0ц Щ дтримарным, если С&---1 (mod(l+i) 3 )- Тогда проверяется, что в каждом простом идеале у, yf 2, можно выбрать примарную об­ разующую, причем единственным образом. Если pi=(ni), №,=

-=(я 2 ), я ь яг — взаимно простые примарные числа, то справед­ лив закон взаимности ([199], [255]) /_^^-==/jIi_V l)((Nn:1--l)/4).((N-ca-l)/4)e (5Д4)

5.3. Когомологий Галуа. Теория когомологий групп дает ре­ гулярный способ извлечения арифметической информации из групп Галуа, действующих на различных объектах: алгебраи­ ческих числах, классах иделей, точках алгебраических много­ образий и алгебраических групп и др. [47], i[166], [255], [446], {382], [383], [384]. Пусть G — некоторая конечная (или проконечная) группа, действующая на некотором G-модуле А (с дискрет­ ной топологией). Группы когомологий G с коэффициентами в А определим с помощью комплекса коцепей. Рассмотрим абелевы группы C°(G, А)—А, а при / i l n C (G, A) = {f:GX... XG-*A\f непрерывно} n раз (сложение функций поточечное, а непрерывность f&Cn(G, А) оз­ начает, что функция f(gu..., gn) зависит только от смежного класса gi по некоторой открытой нормальной подгруппе в G).

Формула

–  –  –

Тогда функция f является 2-коциклом группы G со значениями в А. Если заменить выбор представителей g (то есть выбор се­ чения G-+G), то / изменится на кограницу, значит, класс f в Ji2(G,A) зависит только от расширения (5.19). Группа H2(G, С х ) называется также мультипликатором Шура группы G. Ес­ ли L/K — расширение Галуа с группой Галуа G = G{LIK), дей­ ствующей на G-модуле L x, то # 2 (G, I х ) интерпретируется как группа Брауэра. см. п. 5.5.

Для действия группы Галуа G=G{L/K) на L x справедлива Т е о р е м а Г и л ь б е р т а 90.

H*(G(L/K)9LX)={1}Идея доказательства этого важного факта та же, что и в описании циклических расширений из п. 5.5. Пусть f : GL X —произвольный скрещенный гомоморфизм, fZl(Gy L x ).

В мультипликативной записи это означает, что для всех g, Подберем такое число 66LX, что для hGGf(h)8=f(gh)/f(g)GL*.

всех g&Gf(g)=b/b. Для этого выберем примитивный элемент 7 расширения ЦК, так что числа yg(g&G) образуют базис L тяад К, поэтому число = 2 f{h)tbL (5.20) отлично от цуля. Применим к обеим частям (5.20) элемент g^G, в результате * - 2 / (h)g (ч*к - 2 / (w* AgG AgG

- / ( « Г 2 fiEb)4'h~f{gTlb Ago (по формуле левого действия (yh)*—ygh (g, ЫС)). Этот прием усреднения известен также, как построение резольвенты: Лаг* ^анжа в теории разрешимых расширений полей.

Свойства групп когомологий:

1) Для произвольной точной последовательности G-модулей определена точная последовательность когомологий 0—Я°(О, Л)~#°(С, 5)~#°(G, С)^Н1(0, Л)—

-Hl{G, B)^Hl{G, C)%H2(G, Л)-... ^Нп(О, Л)Hn(G, B)-+Hn(G, С)Хн*+1(Оу А)~±... (5.21) Пример (теорема Куммера). Пусть_поле К содержит груп­ пу \хп всех корней из 1 степени m из К и char К не делит т.

Для произвольного расширения Галуа L/K с группой Галуа G=G(L/K) отображение х-+хт задает гомоморфизм G-моду­ лей v : Lx~-bLx, и имеется точная последовательность Переходя к когомологиям (5.21), мы получаем точную последова­ тельность # a (G, jiJ-#o(G,' L*)-*H°(Q, L*)-±

-+н\{оъ | 0 - я ч а, z, x )-... (5-22 Так как G действует на \im тривиально, то группа Я 1 (О, \im) совпадает с группой Нот (G, f*m), и очевидно H°(G, Lx) явля­ ется частью группы I х, неподвижной относительно действия 0-_0(//С):1 х 0 =/С х. Кроме того, H(G, \im)^\im и Hl(G, I x ) = l по теореме Гильберта 90. В результате полу­ чается точная последовательность l-*Vm^Kx^Kx^Hom(G, (xm)--l, равносильная изоморфизму Куммера KxiKxm^Hom(G, \im).

2) Пусть Н — открытый нормальный делитель в G, А — не­ который G-модуль, тогда имеется точная последовательность Inf Res Q^H\GIH, AH)-Hl{Q, A)-Hl(H, Л), (5.23) в которой Inf обозначает гомоморфизм инфляции, который происходит из расширения коцикла / на G/H до коцикла f на G оо значениями в AHczA, a Res —гомоморфизм ограничения, ко­ торый дается ограничением коциклов на подгруппу HaG.

3) U-произведения. Пусть Л, В, С-—три G-модуля и за­ дано G-инвариантное спаривание °: АХВ-+С (то есть для лю-~ бых gG, аА, ЬВ g(aob) ^gaogb). Например, если Л-=Б~-.

некоторое кольцо, на котором группа G действует тривиально^, то умножение в А является спариванием.

Любое спаривание АХВ-+С индуцирует для я 0 и т ^ О — некоторое билинейное отображение H*(G,A)XHn(Q, B)^Hn+m{G,C), (5.24) которое называется {J-произведением и определено на коциклах по следующему правилу. Если /6C n (G, Л), f'Cn(G, В), то ко­ цепь

–  –  –

3C(6z/ir(a))-«invjr(aUAiX).- (5.31) Тогда Bi/zc(a)—корректно определенный элемент группы G(L/K и, переходя к проективному пределу, можно определить элемент в(а) = И т в ^ ( а ) е О » ь исходя из следующего свойства согласованности. Рассмотрим башню (абелевых) расширений Галуа KczL'czL и пусть G — = G(L/./C), H^G(L/U). Пусть %'— характер группы G/H и X — соответствующий характер группы 6\ Тогда если абЛГх индуцирует элемент 5а==0/^(а)бО и элемент s'^QlH при проекции G-+GIH, то %(sa)—%/(s'a% Это следует из опре­ деления x(.s a )=inv^(auA 1 x) и того факта, что отображение инфляция переводит % (соответственно, Ai%') в характер %.(соответственно, в Ai%), с использованием коммутативной диаграммы

Нг(01НЛ,х)^^Н2С99ьх} (5.32)

Содержательное определение mvK и свойство согласованности связаны с группой Брауэра и будут приведены в следующем пункте. Эта согласованность и позволяет определить символ F (5.28).

Если в К содержится кар еда ь степени т из единицы т, то можно определить символ норменного вычета (а, р) степени m для а,рб/( х условием ^33) е,/,(Р)1к-—«,р)у-.

гп,— в котором I = A ( i / a ) - циклическое расширение, QLIK (p)—локаль­ ный символ (5.31). Значения (сс,р) являются корнями из еди­ ницы степени m и удовлетворяют следующим условиям:

1) (aa /,p) = ( a, p ) ( a /, p ) ;

(a, 1 pp / ) = ( o c, p ) ( a, p O ;

2) 3) (a, p)(p, a) = 1;

4) из (a, p) = 1 для всех $&KX следует aKXm 5) (a, P) = l тогда и только тогда, когда р является нормой K(mia)/K.

в расширении Символ (vp) можно интерпретировать как ^произведение некоторых одномерных групп кого'мологий. Вычислениям этого символа посвящены работы [46], [111].

5.5. Группа Брауэра, закон взаимности и принцип Минковского—Хассе. Напомним сначала основные сведения о группе Брауэра произвольного поля.К (•см. Ю. И. Манин [68], Оерр [391], Н. Т. Чеботарев [108]).

Конечномерная алгебра А над полем К называется простой центральной над /С, если существует такое л^-1, что, обозна­ чая через Мп алгебру /гХ-^-матриц, имеем А®кК^Мп(К) (К— алгебраическое замыкание К). Тензорное умножение ин­ дуцирует на множестве (классов с точностью до изоморфизма) центральных простых./(-алгебр структуру коммутативной по­ лугруппы. Следующее отношение эквивалентности превращает ее в группу: алгебра А эквивалентна В, если существуют та­ кие m, n ^ l, что А®кМт(К) изоморфна В®кМп(К). Все матричные алгебры над К эквивалентны друг другу и состав­ ляют нулевой класс. Класс алгебры Л°, инверсной к А (то есть состоящей из тех же элементов, что и Л, и с тем же сло­ жением, но с умножением в обратном порядке), обратен клас­ су Л. Действительно, каноническое отображение Л®кЛ°EndKA (эндоморфизмы линейного пространства Л), кото­ рое ставит в соответствие элементу х®убЛ8)Л0 умножение на х слева и на у справа, является изоморфизмом: ядро его триви­ ально, ибо Ag)KA° проста, а размерность А®КА° совпадает с размерностью End-сЛ, то есть с (dim-И) 2.

Группа классов эквивалентности центральных простых ал­ гебр над К называется группой Брауэра поля К и обозначается Вт К. Она допускает еще следующее когомологическое описа­ ние.

Пусть L/K—некоторое расширение поля К. Оно назы­ вается полем расщепления /(-алгебры Л, если AgKL=Mn(L).

Эквивалентные алгебры имеют общие поля расщепления.

Пусть Br(K,L)—подмножество группы Брауэра, состоящее из классов алгебр с полем расщепления L. Оно является подгруп­ пой. Предположим теперь, что L/K — расширение Галуа с группой Галуа G==G(L//C).

Тогда можно установить следу­ ющий фундаментальный изоморфизм:

Br(iC L ) ^ # 2 ( a i x ). (5.34) Он допускает различные описания. Мы укажем одно из них, так называемую конструкцию «скрещенных произведений».

Оно состоит в явном построении центральной простой алгебры над К по заданной «системе факторов», то есть по коциклу {ag)h}eZ2(G, Lx).

Эта алгебра строится так:

gQG & egeh=agihegh для всех g, MG, 6ga=g(a)eg для всех g$G.

Ее размерность над К, очевидно, равна [L : К]2. Мы опускаем проверку всех нужных свойств конструкции; отметим лишь, 4TQ ассоциативность А равносильна тому, что коцепь «структур-* них констант» {ag,h} является в действительности коциклом.

Условие расщепления алгебры А над расширением L имеет важные арифметические приложения. Положим N=n2 и вьь берем какой-нибудь базис {аи..., aN) в А над /С Если вос­ пользоваться 'изоморфизмом F:A®K=zMn(K), (5.35) N. ' то все элементы а = 2 x i a t G A (х&К) станут матрицами F(a)Q. ' /--1 6МЛ(ДГ)- Тогда проверяется, что отображения T(a)±*tr(F(a)),v(a)=det(F(a)) являются полиномиальными функциями от xh..., xN С коэф­ фициентами в основном поле К и называются, соответственно,, приведенным следом и приведенной нормой элемента авА [446] т(а)= IA(XU Х2,...,xN)~линейная форма, v (а)=ФА {ХХ, хъ..., xN)—однородный многочлен степени п.

Поскольку F(ab)=F(a)F(b) при изоморфизме (5.35), то * л?(ай)=г(а) -v(b). Но в алгебре с делением любой ненулевой а обратим, поэтому ФЛ не представляет нетривиального нуля над полем К. Однако если A®KLmMn{L) то ФА представляем нетривиальный нуль над I ; при этом изоморфизме решения уравнения ФА (*!,..., xN)=~0 (x&L) (5.36) в точности соответствуют вырожденным матрицам.

Опишем теперь локальный инвариант ([166], [383]) ixwK:BtK-QlZ (5.37) в том случае, когда К — это конечное расширение поля Qp.

Пусть А — центральная алгебра с делением (тело) над полем К, [А : К] = п2. Показатель v = vK поля К единственным спосо­ бом продолжается до показателя vA на Л, совпадающего с v на центре К алгебры А. Например, можно сначала продол­ жить v на полные поля К (а) для аб.Л и воспользоваться согласованностью таких продолжений по свойству единствен­ ности продолжения нормирований на конечные расширения полных полей. Рассматривая редукцию алгебры А по модулю показателя vAi можно проверить, что А содержит максималь­ ное коммутативное подтело L, неразветвленное над центром К.

При этом элемент ббВг К, соответствующий А, расщепляется над L, то есть 8H2(G(L/K), Lx). Неразветвленное расшире­ ние L/K не единственно в Л, однако все такие расширения со­ пряжены по теореме Сколема—Нётер. Эта теорема утверж­ дает, что любой изоморфизм L в Л над К индуцирован некото­ рым внутренним автоморфизмом алгебры Л. Следовательно, существует такой элемент у^А, что yLy~l==L и внутренний ав­ томорфизм х*-+уху~1, ограниченный на подполе L, совпадаете автоморфизмом Фробениуса РгЬ/к. Более того, элемент у оп­ ределяется однозначно с точностью до множителя из груп­ пы Lx. Пусть vA : AX-*~Z — продолжение vK на Л. Тогда можно определить invK6 как образ элемента vA{y) в группе (i-Z)/Zc:Q/Z. Это определение можно сформулировать иначе, заметив, что отображение х^чПхЧ~п Р а в н 0 FVL/K И П О Э Т О М У Следовательно, элемент уп тождественно, так как n=\L:Kl коммутирует с элементами из L и yn=cLx, Мт)-х^(ч л )=тМ~0—1гМ-О- С 5 - 38 ) Поэтому inv6 = //# ( с = я ^ ), где иШх, пь — униформизующий элемент в L, то есть VL{TLL)^\,VL{U)^0.

Перейдем к глобальному «случаю и рассмотрим расширение Галуа числовых полей L/K с группой Галуа G=-G(L/K). Для точки v поля К пусть GvczG обозначает группу разложения некоторого продолжения w точки v на L; мы знаем, что подгруппа Gv однозначно определена по v, если расширение L/K абелево (см. § 4). Вложение L-+Lw индуцирует гомоморфизм 2 X 2 ф „ : # ( G, L )-# (G-, и*).

(5.39) Проверяется, что для элемента a$H (.G, L) образы ф У а обра­ щаются в нуль для почти всех v (кроме конечного их числа):

если у коцикла {ag7h}eZ2(G, L x ), представляющего а, все ag,h^Owx и расширение Lw/Kv неразветвлено, то Hl{Gv,Оvx) =0 при..1. Этот факт выводится из точной последовательности когомологий, соответствующей точной последовательности 1 - 0W -• Lw - Z — • О, и является вариантом леммы Гензеля (п. 3.2).

Таким образом, существует корректно определенное ото­ бражение Я 2 ((?, Z x ) - e # 2 ( G *, *), (5.40) ^ — фиксированное продолжение точки v и суммирование где производится по всем простым точкам v поля К. В этой си­ туации локальные инварианты

–  –  –

эквивалентно, в сущности, формуле произведения для локаль­ ных символов (5.37) и глобальному закону взаимности.

Действительно, если а -—-(а^бЛг-- некоторый идель, то гло­ бальный символ Артина 0(a)6Gj? определяется как предел 9 ( а ) = Н т И dv(av), причем произведение конечно, а локальные символы Qv(av) задаются условием %{% ( 0 ) = inv*, (av U Alx) (5.44) (см. (5.31)) для всех характеров xeH^Q^ Q/Z).

х x Если же аК, то есть av = aQK Для всех TJ, TO Для произ­ вольного характера %Н1(Ок*, Q/Z) будем иметь х ( П е Л ^ ) ) = ЕтУ^(аиА1х)-=0, так как элемент auAaetfMc^Q/z) лежит в глобальной группе Брауэра.

В случае, когда расширение L/K — циклическое, то с по­ мощью чисто когомологических приемов строится канонический изоморфизм H2(G(L/ia Lx)^KxINLfKLx (5.45 и из точной последовательности (5.42) вытекает теорема Хассе о нормах:

Если а(Кх, ЦК — циклическое расширение, то аЫцк1х тогда и только тогда, когда aQNL /KVL% Для.рсех точек v поля К* В частности, пусть О -группа порядка 2, так что L=K[Vb).

Тогда NifK [x + yVb) = x2 — by2, и потому а представимов фор­ ме х2—by2 тогда и только тогда, когда такое представление ло­ кально существует всюду. Отсюда следует, что квадратичная форма Q(x} у, г) над К от трех переменных имеет нетривиаль­ ный нуль над К тогда и только тогда, когда она имеет нетри­ виальный нуль в каждом пополнении поля /О Переходя к про­ извольному я, мы можем получить теорему Минкавского—Хас­ се о том, что квадратичная форма имеет нуль тогда и только тогда, когда она локально имеет нуль всюду ([166], [43]).

В дальнейшем будут приведены другие интересные примеры •«того, как группа Галуа объединяет различные арифметические задачи.

Глава 3

АРИФМЕТИКА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИИ

§ 1. Арифметические многообразия: схемы конечного типа над кольцом целых чисел

1.1. Решение уравнений и кольца ([66], [73], [121], [152], [374]).

Изучение алгебраических уравнений—древнейшая математи­ ческая наука. В новые времена мода и удобство диктуют обра­ щение к кольдам. Замена системы уравнений некоторым коль­ цом является шагом, аналогичным рассмотрению конечных рас­ ширений полей вместо корней конкретных многочленов.

Рассмотрим систему уравнений X:

ОД)=о'(й/,/е/).

Здесь /, / — некоторые множества индексов, Г^ —независимые переменные, F{— многочлены из кольца ЩТ3]Ы. Кольцо К на­ зывается основным кольцом или кольцом констант. О системе X говорят, что она определена над К. Что следует называть реше­ нием системы X} Одно определение напрашивается: решение есть набор элементов (fy), /€/, кольца К такой, что Ft(tj)=0 для всех Ш.

Однако это определение слишком ограничительно:

нас могут интересовать решения, не принадлежащие /С, напри­ мер, комплексные корни многочлена с рациональными коэффи­ циентами. Вообще, пусть L — некоторая /(-алгебра.

1.2. О п р е д е л е н и е. Решением системы X со значениями в Я-алгебре L называется семейство элементов (t^^, tfcL, та­ кое, что Fi(tj)=0 для всех iel. Множество всех таких реше­ ний обозначается X(L).

Поскольку любое кольцо является Z-алгеброй, для любой системы с целыми коэффициентами можно рассматривать ее решения в любом кольце.

Пусть f : Ly-^Lz — гомоморфизм /(-алгебр, то есть отображе­ ние, которое одновременно является гомоморфизмом К"-модулей и колец. Сопоставляя каждому решению {t5) системы X со зна­ чениями в Li решение (f(^)) этой же системы со значениями в Х2, получаем отображение множеств X(Li)-+-X(L2).

1.3. Пример: «язык сравнений». Пусть п — целое число вида 4 т + 3. Вот классическое доказательство того, что п не являет­ ся суммой двух.квадратов целых чисел: иначе было бы разре­ шимо сравнение ri 2 +-T 2 2 ~~3mod4: простейший перебор показы­ вает, что это не так. С нашей точки зрения, это рассуждение

•означает следующее. Пусть X: Ti2+T22—n=0 ( # = Z ). Мы хотим доказать, что X(Z) = 0. Рассмотрим гомоморфизм редук­ ции Z-Z/4Z; он определяет отображение множеств решений Jf(Z)-*X(Z/4Z). Если бы X(Z) было непусто, то и X(Z/4Z) «было бы непусто, а это не так. Вообще, для любой системы уравнений X с целыми коэффициентами имеем: если X(L) = 0 для какого угодно нетривиального кольца Ь(0Ф1), то и X(Z)~ = 0. Практически обычно проверяются конечные кольца Z/mZ и поле вещественных чисел R. Ряд самых глубоких результатов теории диофантовых уравнений связан с вопросом, когда верно обратное утверждение («принцип Минковского-Хассе»). Прото­ типом их является теорема Лежандра: пусть K=Z, X-.aJ^ + a^i + CkTl^O;

если I"(Z)={(0, 0, 0)}, то хотя бы для одного из колец L = =Z/mZ (шфОу 1) или L = R имеем Х(1)=={(0, 0, 0)} ({13, гл. 1, 5 7]; I, п. 1.2.4).

1.4. О п р е д е л е н и е. Две системы уравнений X, Y с одни­ ми и теми же неизвестными, заданные над кольцом /(, называ­ ются эквивалентными, если X(L) — Y(L) для любой /(-алгеб­ ры L.

Среди систем уравнений, которые эквивалентны данной, мы можем рассмотреть «самую большую», которая однозначно оп­ ределяется. Пусть Р — идеал в кольце многочленов К[ТЦ, по­ рожденный левыми частями системы уравнений X : {-Ft[-Tj]=0}.

Легко понять, что система уравнений, полученная приравнивани­ ем к нулю всех элементов идеала Р, эквивалентна данной си­ стеме уравнений и является максимальной в том смысле, что если к ней добавить еще одно уравнение F=0y в ней не содер­ жащееся, то получится новая, не эквивалентная данной, систе­ ма. Чтобы в этом убедиться, достаточно в качестве /(-алгебры L йзять факторкольцо ЩТ/]/Р, где Т/ — независимые переменные.

В этом кольце решением исходной системы будет tj = Tj'modP, в то время как F(tj) = 0, потому что F$P.

1.5. Решения системы как гомоморфизмы /(-алгебр. Резюми­ руя сказанное, имеем X(L)=HomK(A, L), где А—ЩТ&1Р, Нот* — множество гомоморфизмов К-алгебр.

Система X называется совместной, если Х(Ь)Ф0 для неко­ торой ненулевой /(-алгебры L, и несовместной в противном слу­ чае. Доказанное предложение показывает, что система X не­ совместна лишь в том случае, когда ее алгебра нулевая, то есть ie/.

Итак, установлена эквивалентность двух языков Система уравнений X над! [^-алгебра А кольцом К с неизвестными[-=• jвыделенной системой

-Ту, /бУ J ^образующих tp /еУ Решение системы X в) /гомоморфизм К-\ А'-алгебре L у^\алгебр А-. у 12—8171 б 177 При использовании языка колец нет необходимости рассмат­ ривать фиксированную систему образующих (^). Опуская ее»

мы отождествляем системы уравнений, получающиеся друг иа друга взаимно обратной заменой множества неизвестных. Каж­ дый элемент кольца Л играет роль одной из «неизвестных»; зна­ чение, которое эта неизвестная принимает в данном решении системы, совпадает с ее образом при гомоморфизме Л—HL, соот­ ветствующем этому решению.



Pages:   || 2 | 3 | 4 |
Похожие работы:

«Приложение №2 УТВЕРЖДЕНО приказом ЗАО "КЭС" от 2012 № _ ДОГОВОР ПОСТАВКИ № г. _ "_" _ 20_ г., именуемое в дальнейшем "Покупатель", в лице _, действующего на основании с одной стороны и _, _, именуемое в дальнейшем "Поставщик", в лице действующего на...»

«НАУЧНАЯ ДИСКУССИЯ: ФОРМИРОВАНИЕ ПОНЯТИЙНО-КАТЕГОРИАЛЬНОГО АППАРАТА ОТЕЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ МЕНЕДЖМЕНТА УДК 338.24:331.101.262:658.3 Г. Г. Зайцев О преимуществах и недостатках применения категории "человеческий ре...»

«IconBIT HD275HDMI Краткое руководство пользователя www.iconBIT.ru 2010 Условия гарантийного и сервисного обслуживания Дорогой покупатель! Компания iconBiT выражает Вам огромную признательность за ваш выбор. Компания iconBiT устанавливает официальный ср...»

«П. Вульфиус Франц Шуберт Очерки жизни и творчества Москва. "М у з ы к а". 78И В88 Под редакцией Е. М. Орловой На фронтисписе портрет Франца Шуберта с литографии И. Тельчера 1826 года © Издательство "Музыка", 1983 г. От автора Творчество каждого большого художника представляет собой загадку со многими неизвестными. И ра...»

«ISSN 1810-0198 Вестник ТГУ, т. 19, вып. 6, 2014 УДК 517.988 ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ СТЕПЕНЬ СОВПАДЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМОВЫХ ОПЕРАТОРОВ И ПСЕВДОАЦИКЛИЧЕСКИХ МНОГОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ c Дж. Аль-Обаиди, В. В. Обуховский Ключевы...»

«Зарегистрировано в Минюсте России 9 июля 2014 г. N 33026 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПРИКАЗ от 26 декабря 2013 г. N 1408 ОБ УТВЕРЖДЕНИИ ПРИМЕРНЫХ ПРОГРАММ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ ВОДИТЕЛЕЙ ТРАНСПОРТНЫХ СРЕДСТВ СООТВЕТСТВУЮЩИХ КАТЕГОРИЙ И...»

«Ralston Colour Systems Москва, Краснобогатырская, д. 2 КРАСКИ ГОЛЛАНДСКИХ HOLLAND Тел.: +7 (495) 913-39-47 Факс: +7 (499) 162-77-40 РОССИЯ МАСТЕРОВ PLASTDECOR. "Жидкий эластичный пластик" гибкая структурно-декоративная паропроницаемая краска для наружных и внутренних работ. Масса декоративных эффектов: от практически гладкой,...»

«ФГБОУ ВПО НАЦИОНАЛЬНЫЙ МЭИ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 111250, Москва, Красноказарменная ул., 14, МЭИ MPEI, Krasnokazarmennaya st., 14, 111250, Moscow, Тел.: +7(495) 362-7560, Факс: +7(495) 362-8938 Phone.: +7(495) 362-7560, Fax: +7(495) 362-8938 Пресс-релиз о результатах проведения IV Международного научно-практического семин...»

«УДК 504.062(571.63) Региональные особенности природопользования в Приморском крае Н.Г. Степанько © Тихоокеанский институт географии ДВО РАН, г. Владивосток Понятие "природопользование" стало широко использоваться с конца 1960-х гг., когда человек стал ощуща...»

«ПРЕСС-РЕЛИЗ "УРФИН ДЖЮС И ЕГО ДЕРЕВЯННЫЕ СОЛДАТЫ" Производство: Кинокомпания СТВ, студия анимационного кино Мельница, канал "Россия" Продюсеры: Сергей Сельянов, Александр Боярский, Антон Златопольский Режиссеры-постановщики: Владимир Торопчин, Федор Дмитриев, Дарина Шмидт Композитор: Михаил Ч...»

«АЗАСТАН ОР БИРЖАСЫ КАЗАХСТАНСКАЯ ФОНДОВАЯ БИРЖА KAZAKHSTAN STOCK EXCHANGE ЗАКЛЮЧЕНИЕ Листинговой комиссии по ОАО “Банк ТуранАлем” 23 апреля 2002 года г. Алматы Открытое акционерное общество “Банк ТуранАлем”, кратко...»

«УДК 304.2 ПРОБЛЕМА ПЕРЕИЗБЫТКА ИНФОРМАЦИИ В СОВРЕМЕННОМ ОБЩЕСТВЕ Шакир Р.А., научный руководитель канд. филос. наук, доцент Дёмина Н. А. Сибирский Федеральный Университет В современном информационном мире неотъемлемой...»

«GRUNDFOS INSTRUCTIONS DPI Grundfos differential pressure sensor, Industry I Installation and operating instructions Overensstemmelseserklring Vi Grundfos erklrer under ansvar, at produ...»

«Приложение №2.1 к Правилам предоставления услуг подвижной радиотелефонной связи в сети оператора связи ООО ЕКАТЕРИНБУРГ-2000 для Свердловской области. Тарифный план МОБИ GSM Регион подключения Свердловская область Тари...»

«Секция 3 Практическое применение имитационного и комплексного моделирования и средств автоматизации моделирования _ МОДЕЛИРОВАНИЕ МАРШРУТНОЙ СЕТИ ГОРОДСКОГО ПАССАЖИРСКОГО ТРАНСПОРТА НИЖНЕГО НОВГОРОДА В ANYLOGIC А.В. Липенков, О.А. Липе...»

«Богданов А.В. Тайны пропавшей цивилизации Б73 Тайны пропавшей цивилизации. — М.: ЗАО Центрпо-лиграф, 2007. 397 с. ISBN 978-5-9524-2610-8 Сенсационные работы А.Т. Фоменко и Г.В. Носовского по "новой хронологии" вызвали живой интерес у широкого круга читателей. Необычная, во многом спорная и несомненно сенсацион...»

«ОТКРЫТОЕ АКЦИОНЕРНОЕ ОБЩЕСТВО " ВНИИГ им. Б.Е. ВЕДЕНЕЕВА"ИЗВЕСТИЯ ВНИИГ имени Б. Е. ВЕДЕНЕЕВА Издание основано в 1931 году Том 253 Санкт Петербург УДК 626/627 (060) Редакционно издательский совет: Т.С. Артюхина (отв. секретарь), Е.Н. Беллен дир (председатель), А.Г. Василевский, Ю.С. Васильев (зам. председателя...»

«УДК 621.039.743:502.36 В. Г. Батий, Д. В. Городецкий, Ю. И. Рубежанский, В. М. Рудько, А. А. Сизов Институт проблем безопасности АЭС НАН Украины, ул. Кирова 36а, Чернобыль, 07270, Украина ОЦЕНКА РАДИАЦИОННЫХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ХРАНИЛИЩА ОТРАБОТАВШЕГО ЯДЕРНОГО ТО...»

«1 1 Цели освоения дисциплины "Интерпретация данных геофизических исследований скважин" Целью освоения дисциплины "Интерпретация данных геофизических исследований скважин" является подготовка специалиста, обучающегося по специальности "...»

«Основы GPS Введение Основы GPS Основы GPS u-blox ag Название Основы GPS Книга Тип документа GPS-X-02007 ID документа Jean-Marie Zogg Автор 26/03/2002 Дата За дополнительной информацией обратитесь на www.u-blox.com Мы резервируем все права на этот документ и информацию в нем. Воспроизведение, использование или передач...»

«СТЕНОГРАММА седьмого заседания Законода тельного Собрания Пермского края 17 мая 2012 года ПРЕДСЕДАТЕЛЬСТВУЮЩИЙ Сухих В.А., председатель Законодательного Собрания Пермского края СОПРЕДСЕДАТЕЛЬСТВУЮЩИЕ Папков И.В., первы...»

«МИНИСТЕРСТВО ВНУТРЕННИХ ДЕЛ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НИЖЕГОРОДСКАЯ АКАДЕМИЯ ПРОГРАММА (дополнительного) вступительного испытания, проводимого федеральным государственным казенным образовательным учреждением высшего образования "Нижегородская академия Министерства внутренних де...»

«КРАТКОЕ РУКОВОДСТВО ПО ПРИМЕНЕНИЮ ЗАРЯДОВ КОНТУРНОГО ВЗРЫВАНИЯ КОЛОНКОВЫХ (ЗКВК) ТУ 84-1068-85 1. ВНЕШНИЙ ВИД И УСЛОВИЯ ПРИМЕНЕНИЯ Заряды контурного взрывания колонковые (ЗКВК-26 6ЖВ, ЗКВК-32 6ЖВ) представл...»

«Рекомендации Rec (2003). Комитета Министров Совета Европы государствам участникам по организации паллиативной помощи Приняты Комитетом Министров 12 ноября 2003г. на 860 заседании уполномоченных представителей министров Совет Европы CONSEIL COUNCIL DE L'EU E ROP OF EU E ROP Gene...»

«Режим доступа: http://ognikuzbassa.ru/category-45y-wuk/163-zapadnosibirskie-snyshowall=&start=11; http://ognikuzbassa.ru/category-45y-wuk/185-zapadnosibirskie-sny-2 Содержание материала Западн...»

«Б.Н. Мельниченко АНТИМОНАРХИЧЕСКИЙ ЗАГОВОР 1912 г. В СИАМЕ (ТАИЛАНДЕ) В 2012 г. исполняется 100 лет со времени существования в Бангкоке (январь — февраль 1912 г.) тайной антимонархической организации, ставившей своей целью убийство короля и провозглашение республики. Два больших события внутри и вне Сиама способствовали форм...»








 
2017 www.ne.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.