WWW.NET.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет ресурсы
 

«Модулем семейства кривых называется величина n (x) dm(x). M () = inf adm Rn область в Rn, n 2, E, F Rn Пусть D произвольные множества. Обозначим ...»

УДК 517.5

В. И. Рязанов, Е. А. Севостьянов

О некоторых вопросах сходимости и компактности

пространственных гомеоморфизмов

(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В. Я. Гутлянским)

Доказаны различные теоремы сходимости для общих пространственных гомеоморфизмов и на этой основе получены теоремы сходимости и компактности для классов так

называемых кольцевых Q-гомеоморфизмов. В частности, установлено, что класс кольцевых Q-гомеоморфизмов f в Rn, фиксирующих две точки, компактен при Q конечного среднего колебания. Полученные результаты будут иметь широкие приложения к классам Соболева и более общим классам Орлича–Соболева.

В настоящей работе мы приводим некоторые сведения из теории сходимости общих гомеоморфизмов и развиваем теорию компактности для так называемых кольцевых Q-гомеоморфизмов. Кольцевые Q-гомеоморфизмы были введены сначала на плоскости в связи с изучением вырожденных уравнений Бельтрами (см., например, [1, 2]). Теория кольцевых Q-гомеоморфизмов имеет также приложения к различным классам отображений с конечным искажением, интенсивно изучаемых в последнее время. Данная работа является естественным продолжением наших работ [3, 4].

Напомним, что борелева функция : Rn [0, ], n 2, называется допустимой для n семейства кривых в R, пишут adm, если 1.

(x)|dx| Модулем семейства кривых называется величина n (x) dm(x).

M () = inf adm Rn область в Rn, n 2, E, F Rn Пусть D произвольные множества. Обозначим через (E, F, D) семейство всех кривых : [a, b] Rn, которые соединяют E и F в D, т. е. (a) E, (b) F и (t) D при a t b. Следующее определение мотивировано область в Rn, n кольцевым определением квазиконформности (см. [5]). Пусть D 2, измеримая функция. Положим Q : D (0, ) A(x0, r1, r2 ) = {x Rn : r1 |x x0 | r2 }, S(x0, ri ) = {x Rn : |x x0 | = ri }, i = 1, 2.

Говорим (см. [3]), что гомеоморфизм f области D в Rn является кольцевым Q-гомеоморфизмом в точке x0 D, если Q(x) n (|x x0 |) dm(x) (1) M ((f (S1 ), f (S2 ), f (A))) A © В. И. Рязанов, Е. А. Севостьянов, 2013 24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, № 5 для любого кольца A = A(x0, r1, r2 ), 0 r1 r2 r0 = dist(x0, D), Si = S(x0, ri ), i = 1, 2, и для каждой измеримой функции : (r1, r2 ) [0, ] такой, что

–  –  –

Если условие (1) имеет место в каждой точке x0 D, то также говорим, что f является кольцевым Q-гомеоморфизмом в области D.

1. О сходимости общих гомеоморфизмов. В дальнейшем в Rn = Rn {} мы используем сферическую метрику

–  –  –

26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2013, № 5 где qx0 (r) обозначает среднее значение функции Q(x) над сферой |x x0 | = r. Предположим, что fm, m = 1, 2,..., последовательность кольцевых Q-гомеоморфизмов области D в Rn, сходящаяся локально равномерно к отображению f относительно сферической метрики. Тогда f либо постоянно в Rn, либо является гомеоморфизмом D в Rn.

Следствие 3. В частности, заключение теоремы 3 справедливо, если qx0 (r) = O logn1 x0 D.

r

–  –  –

при некотором 0.

3. О полноте кольцевых Q-гомеоморфизмов. Следующий результат был доказан ранее при n = 2 в работе [8, теорема 4.1] (см. также [1, теорема 6.2]).

ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2013, № 5 Теорема 6. Пусть fm : D Rn, m = 1, 2,..., последовательность кольцевых Q-гомеоморфизмов в точке x0 D. Предположим, что fm сходится локально равномерно к гомеоморфизму f : D Rn относительно сферической метрики. Тогда f также является кольцевым Q-гомеоморфизмом в точке x0.

4. О нормальных семействах кольцевых Q-гомеоморфизмов. Напомним, что семейство отображений называется нормальным, если из любой последовательности его элементов можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся в области локально равномерно.

Для заданной области D в Rn, n 2, измеримой функции Q : D (0, ) и числа 0, обозначим символом FQ, класс всех кольцевых Q-гомеоморфизмов f : D Rn в точке x0 таких, что h(Rn \ f (D)).

Замечание 2. Нами было установлено, что класс FQ, нормален как только выполнено хотя бы одно из условий на функцию Q из теорем 2–5 и следствий 2–5 (см. также соответствующие условия нормальности семейств в работах [3, 4]).

5. О компактности семейств кольцевых Q-гомеоморфизмов. Пусть задана область D в Rn, n 2, измеримая функция Q : D (0, ) и две пары точек x1, x2 D, y1, y2 Rn, x1 = x2, y1 = y2. Обозначим символом RQ класс всех кольцевых Q-гомеоморфизмов области D в Rn, n 2, удовлетворяющих условиям нормировки f (x1 ) = y1, f (x2 ) = y2.

Напомним, что семейство отображений называется компактным, если это семейство является нормальным и замкнутым. Объединяя сформулированные выше результаты о нормальности и замкнутости, получаем следующие результаты о компактности семейств кольцевых Q-гомеоморфизмов.

Теорема 7. Класс RQ является компактным, если Q FMO.

Следствие 6. Класс RQ компактен, если

–  –  –

Приведенные результаты будут иметь широкие приложения к теории сходимости и компактности гомеоморфизмов классов Соболева, а также более общих классов Орлича–Соболева, что будет рассмотрено отдельно.

1. Gutlyanskii V. Ya., Ryazanov V. I., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami equation: A geometric approach, developments in mathematics. Vol. 26. – New York: Springer, 2012. – 301 p.

2. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. – New York: Springer, 2009. – 367 p.

3. Рязанов В. И., Севостьянов Е. А. Равностепенно непрерывные классы кольцевых Q-гомеоморфизмов // Сиб. мат. журн. – 2007. – 48, № 6. – С. 216–231.

4. Рязанов В. И., Севостьянов Е. А. Равностепенная непрерывность квазиконформных в среднем отображений // Там же. – 2011. – 52, № 3. – С. 665–679.

5. Gehring F. W. Rings and quasiconformal mappings in space // Trans. Amer. Math. Soc. – 1962. – 103. – P. 353–393.

6. Bojarski B., Gutlyanskii V., Ryazanov V. On Beltrami equations with two characteristics // Complex Variables and Elliptic Equations. – 2009. – 54, No 10. – P. 933–950.

7. Kolomoitsev Yu., Ryazanov V. Uniqueness of approximate solutions of the Beltrami equations // Proc.

Inst. Appl. Math. & Mech. NASU. – 2009. – 19. – P. 116–124.

8. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On strong solutions of the Beltrami equations // Complex Variables and Elliptic Equations. – 2010. – 55, No 1–3. – P. 219–236.

9. Brakalova M., Jenkins J. On solutions of the Beltrami equation II // Publ. Inst. Math. (Beograd) (N. S.). – 2004. – 75(89). – P. 3–8.

10. Игнатьев А., Рязанов В. Конечное среднее колебание в теории отображений // Укр. мат. вест. – 2005. – 2, № 3. – С. 395–417.

–  –  –

Про деякi питання збiжностi та компактностi просторових гомеоморфiзмiв Доведено певнi теореми збiжностi для загальних просторових гомеоморфiзмiв i на цiй основi отримано теореми збiжностi та компактностi для класiв так званих кiльцевих Q-гомеоморфiзмiв. Зокрема, встановлено, що клас кiльцевих Q-гомеоморфiзмiв f в Rn, який фiксує двi точки, є компактним за умови, що Q належить класу скiнченного середнього коливання. Одержанi результати матимуть широкi застосування до класiв Соболєва та бiльш загальних класiв Орлiча–Соболєва.

V. I. Ryazanov, E. A. Sevost’yanov

About some problems of convergence and compactness of space homeomorphisms Various theorems on convergence and compactness of the general space homeomorphisms are proved.

On this basis, the theorems on convergence and compactness for classes of the so-called ring Q-homeomorphisms are obtained. In particular, it is shown that the class of ring Q-homeomorphisms in Rn xing two points is compact provided that a function Q has a nite mean oscillation.

These results will have a wide range of applications to the Sobolev classes, as well as to the more general Orlicz–Sobolev classes.

–  –  –



Похожие работы:

«Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ) Кафедра "Управление эксплуатационной работой" И.Н. Шапкин, В.Н. Шмаль ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ УПРАВЛЕНИЯ ВАГОННЫМ ПАРКОМ В СИСТЕМЕ "ДИСПАРК" Рекомендовано редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия для студентов специальности 190701 "Организация перевоз...»

«УТВЕРЖДАЮ Директор Государственного Спортивного учреждения "Гродненский областной аэроклуб" К. Н. Царик "_"_ 2012г. ПЛАН ЛЕКЦИОННОГО ЗАНЯТИЯ ТЕМА ЗАНЯТИЯ: №7 Ознакомление с самолетом. ЦЕЛЬ ЗАНЯТИЯ: Ознакомиться с самолетом Ан-2. ВРЕМЯ: 60 мин. МЕСТО ПРОВЕДЕНИЯ ЗАНЯТИЯ:...»

«ВІСНИК Донбаської державної машинобудівної академії № 2 (19), 2010 164 УДК 621.791:621.762 Литвинов В. М., Лысенко Ю. Н., Чумак С. А., Красильников С. Г., Василенко С. Л., Коровченко А. И., Костюченко Ю. И., Наумова Л. Н. КИСЛОРОДНАЯ РЕЗ...»

«УТВЕРЖДЕНО Приказом Министерства образования и науки Донецкой Народной Республики 16 сентября 2016 г. № 934 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ СТАНДАРТ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ ПОДГОТОВКИ 38.04.04 "ГОСУДАРСТВЕННОЕ И МУНИЦИПАЛЬ...»

«АКАДЕМИЯ НАУК СССР ГЕОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Е. С П О С Т Е Л Ь Н И К О В, Л. К. З А Т О Н С К И Й,. Р. А. А Ф Р Е М О В А ТЕКТОНИЧЕСКОЕ РАЗВИТИЕ И СТРУКТУРА И Н ДО К И ТА Я ИЗДАТЕЛЬСТВО "НАУКА" М о с к в а 19 64 ACADEMY OF S C I E N C E S OF T H E USSR GEOLOGI CAL I NSTI TUTE E. S. P O S T E L N I K O V, L. К. Z A T O N S K Y, R. A. A F R E M O V A TECTONIC DEVELOPMENT AND ST R U...»

«Р.В. Горбунов, Геополитика и экогеодинамика И.В. Алексашкин регионов. 2008. Вып.1-2. С. 106-111 УДК 556.18 Р.В. Горбунов, Анализ уравнений И.В. Алексашкин водохозяйственного баланса геосистем Таврический национальный университет им. В....»

«2016, Том 4, номер 2 (499) 755 50 99 http://mir-nauki.com ISSN 2309-4265 Интернет-журнал "Мир науки" ISSN 2309-4265 http://mir-nauki.com/ 2016, Том 4, номер 2 (март апрель) http://mir-nauki.com/vol4-2.html URL статьи: http://mir-nauki.com/PDF/11PDMN216.pdf Статья опубликована 11.04.2016...»

«H. М. Л Е Б Е Д Е В САМОЛЕТ У 2 \ ВОЕНИЗДАТ МОСКВА — 1937 № 1 -'С У J; ш.в Н. М. ЛЕБЕДЕВ J-33x САМОЛЕТ У-2 УЧЕБНИК ДЛЯ ЛЕТНЫХ ШКОЛ ВВС РККА П О Д РЕДАКЦ И ЕЙ ВОЕНИНЖ ЕНЕРА 1-го Р А Н Г А А. П. С М О Л И Н А ННй Г О К Г р НИПИЩЕ ОБЛ. 6 К Ш 0 Т Е Ш г. СВЕРДЛОВСК 1 ЛШЛ Ш ГОСУДАРСТВЕННОЕ ВОЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО НАРКОМАТА ОБОРОН...»

«Штрафной, свободный и 11-м удары могут быть назначены за нарушения, совершенные когда мяч был в игре.1. Штрафной удар Штрафной удар назначается, если игрок совершил любое из следующих нарушений против соперника, которые судья расценил как неосторожное, безрассудное или с использованием чрезмерной физической силы:• напал • пр...»

«и ГЦТ "Астанателеком" представляют: Эссе Шевчук Олеси Дмитриевны в номинации "Оператор года" "Вероятно, лишь один человек из тысячи страстно поглощен своей работой как таковой. Разница только в том, что про мужчину скажут: Он увлечен своим делом, а про женщину: Она какая-то странная...»






 
2017 www.net.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.