WWW.NET.KNIGI-X.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Интернет ресурсы
 

«Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа Во многих приложениях встречаются задачи, описываемые ...»

Численное решение дифференциальных уравнений в частных

производных параболического типа

Во многих приложениях встречаются задачи, описываемые

квазилинейными системами уравнений в частных производных

параболического типа. Приведем два содержательных примера.

1. Теплоперенос в плазме

Пусть имеется двухкомпонентная плазма, составленная из

электронов и ионов.

Гидродинамическая часть задачи описывается следующей

математической моделью движения нейтральной плазмы внутри

установки (с учетом токовой скорости электронов, что фактически вводит в рассмотрение двужидкостность плазмы):

n + div(n v) = 0, t v 1 1 1j + ( v, ) v = P + ( j B), ve = v, t An An ec n Te 2 + ( v e, )Te + div ( v eTe ) = divq e + Qie + Q, t 3 Ti 2 + ( v, )Ti + div( vTi ) = divq i Qie, t 3 дополненной уравнениями состояния идеальной плазмы:

Pe = nTe, Pi = nTi, P = Pe + Pi.

Уравнения записаны в энергетических единицах, постоянная Больцмана принята равной 1. Предполагается, что средний заряд иона плазмы равен 1 и практически не меняется по ходу процессов.

В уравнениях приняты следующие обозначения: n — концентрация ионов в плазме, совпадающая в силу ее нейтральности с концентрацией электронов; v — скорость ионов, ve — электронная токовая скорость; j и B — плотность тока и напряженность магнитного поля; Pe и Te, Pi и Ti — соответственно электронные и ионные давление и температура, P — полное давление; A — атомный вес иона плазмы, e и mp — заряд электрона и масса протона соответственно, с — скорость света, qe — электронный тепловой поток, Qie — обмен энергией между электронами и ионами за счет столкновений, Q — джоулев нагрев.



Для электронного теплового потока справедливо выражение:

nT Te 3 nTe j q e = 0.71 j b 3.16 e e Te Be e ne e mp 4, 66nTe e 5 cnTe [b Te ].

Te m p (Be e ) 2eB Аналогичное выражение можно выписать для случая ионного теплового потока. Для члена, описывающего электрон-ионные столкновения, имеем Ti Te Qie e Здесь e — характерное время столкновений, Be e — параметр Холла.

Предположим, что плотность плазмы (концентрация ионов) постоянна по пространству, магнитное поле отсутствует, плазма неподвижна. Тогда система уравнений примет вид Te = divq

–  –  –

Экологическая модель — конкурирующие популяции Будем считать, что основной величиной, определяющей подвижность особей, является потребление субстрата одной особью. В элементарной области плотность особей (клеток) n, концентрация субстрата S. Тогда среднее потребление субстрата одной особью в данном элементарном объеме есть или S/n, или некоторое пороговое значение потребления субстрата особью, характеризующее максимальное потребление при избытке субстрата. В данном приближении пренебрегаем различиями в физиологических характеристиках особей, считая их идентичными.

Для построения более тонких моделей явления необходимо учитывать половозрастную структуру ансамбля особей и различие в размерах взрослых особей. Предположим, что существует нижняя физиологическая граница потребления субстрата, при снижении удельного потребления до этой границы резко увеличивается подвижность каждой особи. Обозначим эту критическую границу s0. Если потребление субстрата особью меньше пороговой величины, ее подвижность высокая, если больше — то низкая.

Тогда поток особей через границу рассматриваемой области приближенно (в предположении, что функцию переключения активности можно разложить в ряд Тейлора в окрестности ноля удельного потребления субстрата) описывается соотношением n W = W0 grad n.

S В случае, если переключение более резкое (пороговое), модель для вычисления потока меняется на подобную модель с дополнительным параметром, характеризующим скорость переключения:

s n W = 0 grad n.

S Изменение численности популяции с учетом подвижности описывается уравнением n W0 n n = divW + aSn bn 2 = + aSn bn 2.

t x S x Если концентрация субстрата достаточно высока и потребляемый субстрат быстро восстанавливается, уравнение можно записать в виде n n = D0 n + an bn 2.

t x x W0 Здесь введены обозначения D0 =, a = aS.

S Рассмотрим теперь две конкурирующих популяции при условии большого количества субстрата. Пусть для описания конкуренции использована простейшая модель Вольтера. Тогда система уравнений для описания пространственно-временной численности популяций примет вид

–  –  –

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Справочные материалы Основные определения — сходимость, аппроксимация, устойчивость Дадим основные определения из теории разностных схем.

Пусть Lu = F и L u = F — операторные обозначения исходной дифференциальной и поставленной ей в соответствие разностной задачи (точнее, параметрического семейства задач); L и L — соответственно, дифференциальный и разностный операторы, u, u — решения дифференциального и разностного уравнений, принадлежащие соответствующим функциональным пространствам, F, F — правая часть исходного уравнения и проекция правой части дифференциального уравнения на расчетную сетку. Отметим, что в правую часть задачи, записанной в такой абстрактной форме, входят начальные и граничные условия. Считается известным способ получения проекции непрерывной функции на сетку. В простейшем случае используются значения функции, вычисленные в узлах сетки.

Индекс в этой операторной записи указывает на всю совокупность сеточных параметров. Можно сказать, что для дискретной задачи имеется не один оператор, а совокупность различных операторов, зависящих от набора параметров.

Например, задачу Коши для линейного одномерного уравнения переноса u u = f (t, x), t [0, T ], x [0, X ], u (0, x) = ( x) t x можно представить в виде Lu = F. Здесь

–  –  –

Консервативные разностные схемы В случае если коэффициент теплопроводности a зависит от времени и координат, консервативную схему можно получить, используя интегро–интерполяционный метод (положим, для простоты f (t x) = 0).

Напомним, что разностная схема называется консервативной, если выполняются следующие условия. В дифференциальной задаче выполняется некий закон сохранения.

Соответствующий закон сохранения выполняется и на сеточном уровне. Если же в дифференциальной задаче имеется несколько законов сохранения, а при переходе к сеточному описанию все они получаются как следствие нашей разностной схемы в результате алгебраических преобразований, то схема называется полностью консервативной.

Как правило, при записи уравнений в частных производных законам сохранения соответствует дивергентная форма записи. Для уравнения теплопроводности роль такого закона сохранения играет непрерывность теплового потока.

–  –  –

Здесь также была применена линеаризация функции f(u).

Отдельно рассмотрим важный частный случай a = uk. В довольно грубом приближении уравнение описывает тепловые волны, образующиеся в высокотемпературной плазме и при образовании сверхновых звезд.

–  –  –

Повышение порядка аппроксимации для полулинейного уравнения Назовем полулинейным уравнением параболического типа следующее уравнение u u = a( x, t ) + f (u ), t [ 0, ], x [ 0, X ].

t x t Здесь a( x, t ) 0.

Дифференциальный оператор, входящий в уравнение, линейный. Вся нелинейность сосредоточена только в правой части.

Используем то, что уравнение является неоднородным, а функция f (u ) не зависит явно от первой производной по пространству. Предположим также, что a ( x, t ) является бесконечно непрерывно дифференцируемой функцией.

В качестве примера рассмотрим повышение порядка аппроксимации простой явной схемы

–  –  –

опускаем, так как рассматривается один переход с n– го на (n+1) слой в предположении, что известно решение на n слое (можно было бы написать, uml = Ceim + il, где C = n, но в этом нет n

–  –  –

Последнее слагаемое в правой части является величиной порядка O() и определяет погрешность аппроксимации.

Если правая часть f(t, x, y) не нулевая, то схему можно переписать, например 1 n u n +1 uml n n uml uml 1 n+ = 2uml 1 + f ml.

= 1uml + f ml, ml Пространственно-распределенные математические модели в экологии (введение в модели) Рассмотрим общие подходы к построению математических моделей пространственно-распределенных систем.





В основе любой такой модели должны лежать фундаментальные “физические” законы. Так, для уравнений математической экологии роль такого фундаментального “физического” закона играет закон сохранения численности (биомассы), вполне аналогичный законам сохранения (вещества, импульса или энергии) в механике и физике. В физике законы сохранения обычно формулируются как в интегральной, так и в дифференциальной формах. Дифференциальная формулировка закона сохранения часто носит название уравнения неразрывности (непрерывности).

Получим общую формулировку уравнения неразрывности для отдельной популяции. Рассмотрим ограниченный ареал с какимлибо распределением особей по пространству. Пусть число особей, занимающих данный ареал, достаточно велико. Выделим внутри ареала произвольную площадку S, ограниченную замкнутой кривой S. Будем считать, что характерные размеры площадки малы по сравнению с размерами ареала. Будем в дальнейшем называть ее контрольной площадкой. Рассмотрим изменение численности N, происходящее внутри контрольной площадки за небольшой промежуток времени t. Очевидно, что изменение численности будет происходить за счет демографических процессов (“рождения” и “смерти” особей внутри данной произвольной площадки) и за счет миграции (перемещения особей за границы этой площадки). Таким образом, уравнение баланса можно записать в виде N = fSt ( w, n)dlt, S где f — зависящая от локальной плотности особей (u = N/S) функция, описывающая демографические процессы, w — поток особей за пределы контрольной площадки, n — вектор внешней нормали к границе контрольной площадки. Разделим правую и левую части данного балансового соотношения на St. Тогда оно перепишется в виде u 1 = f (u ) ( w, n)dl.

t S S Основной переменной здесь является локальная плотность особей, введенная выше. Теперь в последнем равенстве заменим интеграл по границе контрольной площадки на интеграл по объему, пользуясь формулой Остроградского–Гаусса, и перейдем к пределу при S0, t0.

Мы получим дифференциальную формулировку закона сохранения численности особей:

du = div w + f (u ) dt т. е. уравнение неразрывности для популяции. Конкретные экологические модели можно получить из уравнения, привлекая при этом конкретные гипотезы или опытные данные о зависимости миграционного потока и демографической функции от локальной плотности популяции.

–  –  –

а ввиду того, что направления движения особей в положительном и отрицательном направлении одинакова (животные не знают математики, и им все равно, в каком направлении наблюдатель провел ось координат), то первый момент обращается в ноль + ( x z ) p ( x z )dz = 0.

С учетом этих равенств для изменения численности популяции в точке мы получим n 2 2 n =.

t 2 x 2 В этом выражении необходимо перейти к пределу при t 0. Сравнивая последнее равенство с выведенным ранее уравнением неразрывности, видно, что при выполнении гипотезы о случайном перемещении особей в пространстве миграционный поток совпадает с диффузионным в случае линейной диффузии и дается выражением n w = D, x (закон Фика), а коэффициент “диффузии” есть D = и связан с радиусом индивидуальной активности. В более общем случае, когда время измеряется не в единицах жизни поколения, будем иметь D =, где T — среднее время жизни одного поколения.

2T При справедливости гипотезы случайных блужданий мы приходим к уравнениям (или системам уравнений) типа “реакция–диффузия”.

Дело в том, что члены, описывающие демографические процессы, оказываются вполне аналогичными членам, описывающим химические реакции. Класс моделей математической экологии оказывается практически эквивалентным моделям физической химии.

Мальтузианская популяция Пусть в изолированной популяции с полным перемешиванием динамика численности описывается уравнением Мальтуса. Пусть, кроме того, справедлива гипотеза о случайных перемещениях особей в пространстве.

Тогда, в одномерном случае, пространственно-временная динамика популяции описывается уравнением вида:

2n n = D 2 + an, t x где D — коэффициент “диффузии”, а a — мальтузианский параметр (мальтузианская скорость роста). Для исследования свойств уравнения будем рассматривать только задачу Коши, т. е. задачу на бесконечном ареале с заданными начальными условиями n( x,0) = ( x).

Кроме задачи Коши можно также ставить смешанные задачи, когда заданы условия в начальный момент времени (начальные условия) и условия (зависящие от времени) на границах ареала. Такие задачи встретятся нам позднее.

Анализ размерности для задачи

Заметим, что число особей (штуки) — величина безразмерная.

Плотность популяции есть число особей, приходящееся на единицу площади. Если ввести основные размерности L — длины, T — времени, то плотность популяции n имеет размерность L–2, мальтузианский параметр имеет размерность T–1, а коэффициент диффузии L2T–1. Из размерных коэффициентов задачи можно составить две комбинации, одна из которых будет иметь размерность длины L, а вторая — скорости. Это D L* =, a v * = Da.

Первую из этих комбинаций назовем реакционно-диффузионной длиной, а второю — характерной скоростью уравнения реакция– диффузия. Эти величины (или их аналоги) встретятся нам не раз в дальнейшем изложении.

Будем говорить, что величины, входящие в уравнение, имеют независимые размерности, если формулу для размерности одной величины нельзя представить в виде степенного одночлена из формул размерности других величин. Из всех (трех) величин, входящих в уравнение, независимые размерности имеют лишь две — время и характерная длина.

При исследовании уравнений математической физики, являющихся записями физических законов, широко используется -теорема (читается: пи-теорема) [18].

Она гласит следующее:

Пусть имеется запись физического закона (функциональная зависимость), зависящая от k переменных, r из которых имеют независимую размерность, то данную зависимость можно представить в безразмерном виде уравнения, зависящем от k – r безразмерных переменных.

В частности, если в запись уравнения входит p параметров, s из которых имеют независимую размерность, то в безразмерной форме уравнение будет зависеть лишь от p – s безразмерных параметров.

В нашем случае из -теоремы следует, что при соответствующем выборе масштабов уравнение не будет зависеть от размерных параметров. Действительно, выбирая в качестве масштаба времени T0 = 1 a, длины L0 = L* мы получим ( = t / T0, = x / L0 ) n 2 n = + n.

Точные (автомодельные) решения уравнения популяционной динамики для популяции типа Мальтуса Приведенные выше уравнения нехарактерны для математической экологии, так как являются линейными уравнениями. С другой стороны, задачи для линейного уравнения теплопроводности (диффузии) хорошо изучены и описаны в курсах уравнений математической физики [19, 20].

Будем рассматривать размерный вариант уравнения n 2n = D 2 + an.

t x Очевидной заменой v = n exp(at ) это уравнение сводится к уравнению теплопроводности 2v v =D 2, t x свойства которого хорошо изучены.

Среди всех решений уравнения теплопроводности особую роль играет одно, называемое фундаментальным решением уравнения теплопроводности (или фундаментальным решением оператора теплопроводности, или функцией источника) [1, 2, 19]. Построим функцию источника для уравнения теплопроводности (и, следовательно, для уравнения с источником с учетом сделанной замены). При этом мы не будем пользоваться математическим аппаратом обобщенных функций, как это сделано в [1], а используем теорию размерностей и построим автомодельное решение (подробнее смотри в [19]). Под автомодельным решением будем понимать (без строгого математического обоснования) решения, полученные при помощи обобщения метода разделения переменных. Для математически подготовленных читателей упомянем, что под автомодельными решениями обычно понимаются решения, инвариантные относительно какой-либо группы преобразований. Из размерных констант и независимых переменных можно составить единственную безразмерную комбинацию = x Dt, все остальные безразмерные комбинации есть степенные одночлены от данной. Эта безразмерная комбинация в данной задаче играет роль автомодельной переменной. Положим v = g (t )h(), подставим это выражение в уравнение теплопроводности. Тогда получаем x 1 g h gh = gh, t 2t Dt где штрихом обозначено дифференцирование функции по своему аргументу (t и соответственно).

Это уравнение можно переписать в виде:

g t 2h + h = g 2h Ввиду того, что правая часть последнего выражения есть функция лишь аргумента, а левая — лишь времени, мы имеем следующие дифференциальные уравнения:

g c =, gt 2h + h 2ch = 0.

Здесь с — произвольная константа интегрирования. Из первого уравнения получим g (t ) = t c. Второе уравнение будет разрешимо, если с=–1/2, тогда (2h + h) = 0, и мы имеем 2h + h = K, K — произвольная константа интегрирования. Для построения функции источника обычно требуют, чтобы в любой момент времени при x выполнялось условие v(x, t) = 0.

Тогда K = 0, и последнее уравнение можно проинтегрировать:

h =, h 2 откуда окончательно имеем h() = C exp( 2 / 4).

Последняя константа интегрирования в нашем построении функции источника определяется из дополнительного условия u ( x, t )dx = 1, так как по своему физическому смыслу функция источника есть отклик системы на мгновенное единичное воздействие. Окончательно имеем x2 G ( x, t ) = exp( ) 4 Dt 4 Dt (функция источника для уравнения теплопроводности традиционно обозначается как G(x, t)).

Обсудим данный результат с точки зрения теории размерности. Действительно, после сказанного выше мы вправе ожидать, что G имеет размерность L–2, в то время как из последней формулы следует все-таки L–1. Это вовсе не парадокс — мы записали функцию источника так, как это принято в математике, не обращая внимания на то, что единица в числителе последнего выражения — величина размерная! Действительно, дополнительное условие, из которого определяется константа интегрирования, влечет за собой то, что размерность “единицы” — L–1.

Функция источника для исходного уравнения получается с использованием простой замены переменных и имеет вид x2 ( x Vt )( x + Vt ) G2 ( x, t ) = exp + at = exp 4 Dt 4 Dt 4 Dt 4 Dt V = 2 Da. Величина V имеет смысл скорости где распространения возмущений (волн) в популяции типа Мальтуса.

Действительно, при x = Vt и x = –Vt значение функции источника равно значению функции источника для уравнения теплопроводности в то же самое время в нуле. При больших по абсолютному значению x решение уравнения популяционной динамики с “кинетикой” типа Мальтуса ведет себя качественно так же, как и обычное уравнение теплопроводности, при меньших по абсолютной величине x наблюдается неограниченный рост численности.

Отметим и еще один результат — мы довольно точно угадали скорость распространения возмущений в этой задаче из соображений размерности, даже не начиная решения задачи.

Действительно, из соображений размерности наша оценка составила V = Da, в то время как точное решение задачи дает величину, всего лишь вдвое большую.

Даже в тех областях физики, где возможен точный эксперимент, а значения величин измеряются с точностью до долей процента, априорная оценка, отличная от точного значения на константу порядка единицы (в логарифмической шкале), считается очень хорошей. В популяционной экологии методики наблюдений гораздо менее развиты, и априорные оценки, в том числе, и опирающиеся на соображения размерности, должны иметь довольно большую роль. В дальнейшем мы постараемся уделять внимание вопросам теории размерности для каждого рассматриваемого примера.

Используя функцию источника для уравнения популяционной динамики типа Мальтуса, можно выписать аналог формулы

Пуассона для решения задачи Коши:

( x y )2 4 Dt ( y)dy exp(at ), n ( x, t ) = exp 4 Dt где (y) — начальное распределение плотности особей на ареале.

Базовые модели Математических моделей популяционной динамики в настоящее время придумано очень много. Простое перечисление всех типов моделей заняло бы несколько страниц данной книги. Тем не менее, существует ряд математических моделей, вполне содержательных, с одной стороны, подробно изученных, с другой. На примере этих моделей можно проиллюстрировать основные свойства нелинейных уравнений математической экологии, рассмотреть методы решения нелинейных уравнений математической экологии.

Кроме того, эти модели часто входят в более сложные составные модели в качестве частей, блоков, своеобразных “кирпичиков”.

Модели эти встречаются практически во всех книгах по математической экологии и математической биофизике. Эти модели получили название “базовых”. Ниже мы рассмотрим часть таких базовых моделей и обсудим ряд результатов и эффектов, типичных для математической экологии.

Уравнение Мальтуса со случайным блужданием (с математической точки зрения это линейное уравнение теплопроводности с источником) не принадлежит к числу базовых.

В следующем пункте мы рассматриваем первую нелинейную базовую модель – уравнение Колмогорова–Петровского– Пискунова.

Популяция Ферхюльста и уравнение Колмогорова–Петровского–Пискунова Пусть в изолированной популяции с полным перемешиванием динамика численности описывается уравнением Ферхюльста.

Пусть, кроме того, справедлива гипотеза о случайных перемещениях особей в пространстве.

Тогда мы получаем следующее уравнение популяционной динамики, принадлежащее к классу уравнений “реакция–диффузия”:

2n n = D 2 + an( K n).

t x Мы записали это уравнение в размерном виде. Отметим особо, что размерность коэффициента а в уравнении Мальтуса с учетом случайных перемещений и в уравнении Ферхюльста разная! Как уже отмечалось выше, уравнения популяционной динамики имеет смысл писать в терминах плотности популяции. Тогда D, как и ранее, коэффициент подвижности особей, aK — мальтузианская скорость роста численности популяции, K — равновесная плотность особей на ареале. Теперь в уравнении уже три параметра, причем только два из них имеют независимую размерность. Безразмерная запись уравнения будет зависеть от одного параметра (здесь он будет играть роль бифуркационного параметра). Как и ранее, можно составить характерные безразмерные комбинации.

Для реакционно-диффузионной длины и характерной скорости имеем, по аналогии с предыдущим разделом:

D L* =, aK v * = DaK.

Уравнения такого вида, когда входящий в них дифференциальный оператор является линейным, а вся нелинейность сосредоточена в функции правой части, называются полулинейными уравнениями (в данном случае, параболического типа).

Это уравнение исследовалось в работах Колмогорова, Петровского и Пискунова и Фишера. Само уравнение носит название уравнения Колмогорова–Петровского–Пискунова (КПП).

Безразмерная запись уравнения КПП Введем безразмерные переменные в соответствии со следующим способом выбора масштабов функции и независимых переменных задачи:

–  –  –

Исследование уравнений КПП методами фазовой плоскости Сначала проведем исследование для размерной записи уравнения КПП.

Уравнение (2.5) имеет пару пространственно-однородных стационарных решений, определяемых нолями функции правой части:

an( K n) = 0, тогда пространственно-однородные стационарные решения суть n = 0 и n = K. Из свойств уравнения Ферхюльста следует, что тривиальное (т. е. равное нолю во всех точках) решение должно быть неустойчивым. Рассмотрим для уравнения задачу Коши со следующими начальными данными: n(x, 0) = K при x 0 и n(x, 0) = 0 при x 0. В силу диффузии начальный профиль в виде “ступеньки” размажется, там, где появились малые возмущения, плотность популяции начнет возрастать. В системе возникнет т. н.

“волна переключения” (или “волна переброса”). Авторы работы [20] предположили, что волна переключения распространяется, не меняя своей формы, с постоянной скоростью. В этом случае можно ввести переменную “бегущей волны” по формуле = Vt x, здесь V — неизвестный параметр, подлежащий определению при решении задачи. Переходя к дифференцированию по переменной бегущей волны, получим нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка:

Vn = Dn + an( K n).

Фазовым пространством этого уравнения будет полуплоскость ( n 0, n ). Вводя новую переменную z = n, последнее уравнение можно записать в виде n = z, V a z = z n( K n) D D причем пространственно-однородным стационарным решениям системы соответствуют особые точки данной системы ОДУ, а волне переключения — траектория системы, соединяющая эти две особых точки. К сожалению, авторы не могут комментировать все выделенные термины, предполагая у читателей знакомство с курсом обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для исследования получившейся системы применим стандартную схему качественного исследования динамической системы на плоскости. Для этого определим тип особых точек (положений равновесия) системы уравнений.

Особая точка (0, 0).

Запишем линейное приближение системы в окрестности этой особой точки.

Мы имеем:

n = z, V aK z = z n.

D D Характеристическое уравнение, определяющее тип особой точки, имеет вид V aK 2 + = 0, D D корни которого легко вычисляются:

V ± V 2 4aKD 1, 2 = 2D Учтем, что скорость распространения волны в данном случае — положительный параметр. Коэффициент подвижности особей, естественно также является положительным параметром. Особая точка (положение равновесия) всегда имеет характеристический корень с положительной действительной частью, следовательно, будет неустойчиво. Если подкоренное выражение отрицательно, то решения квадратного уравнения есть комплексно-сопряженные числа, а положение равновесия – неустойчивый фокус. При этом траектории системы в окрестности нуля обязательно попадают в левую полуплоскость фазовой плоскости, т. е. покидают фазовое пространство задачи. Физически это означает, что хотя формально решение будет существовать, но на части ареала численность популяции отрицательна.

Траектории в малой окрестности точки (0, 0) не будут покидать фазовое пространство в случае V 2 4aKD, откуда получается выражение для минимальной скорости распространения волны КПП:

V = 2 aKD, которое отличается от найденного выше из соображений размерности лишь численным множителем порядка единицы.

Точно также как это сделано для особой точки (0, 0), мы можем провести исследование на устойчивость по Ляпунову и другой особой точки (1, 0). Представляем это читателям в качестве тривиального упражнения. Мы же воспользуемся для того, чтобы получить ответ, тем фактом, что вдоль одной и той же нульизоклины системы характер особых точек чередуется: за узлом или фокусом обязательно идет седло, за седлом следует узел или фокус.

Изоклины — линии равного наклона, подробнее см. в курсах обыкновенных дифференциальных уравнений. Нуль-изоклины — линии, вдоль которых правые части уравнений системы обращаются в ноль. Особые точки всегда есть пересечение нульизоклин. Для рассматриваемой системы нуль-изоклины есть z = 0 и a z= n( K n).

V Таким образом, мы пришли к выводу о том, что особая точка (1, 0) есть седло. Волне переключения соответствует траектория системы, выходящая из особой точки (0, 0) и входящая вдоль осевой линии (сепаратриссы) седла в это седло (см. рис. 1).

Отсюда следуют некоторые свойства решения уравнения КПП в виде бегущей волны. Искомая траектория соединяет два положения равновесия (особых точки). Каждое положение равновесия, как следует из курсов обыкновенных дифференциальных уравнений, само по себе является траекторией. Следовательно, при движении изображающей точки от одного положения равновесия до другого аргумент системы пробегает все значения от – до +.

Тогда решение в виде бегущей волны обладает следующим недостатком:

оно лишь асимптотически стремятся к нулю и единице (с разных сторон от фронта волны переключения). Впрочем, эти асимптотические “хвосты” достаточно малы. Похожие проблемы (асимптотическое стремление к нужному пределу) встречаются и в “классических” физических задачах для уравнений теплопроводности или диффузии. С точки зрения математической экологии такой асимптотический характер можно истолковать, например, следующим забавным образом. У нас есть модель КПП для описания расселения леммингов по тундре. Модель в целом адекватно описывает миграцию грызунов, но из решения следует, что очень малое количество (один-два лемминга) сразу после начала процесса миграции окажутся в Сахаре. Как правило, такими погрешностями моделей (при разумном соответствии экспериментальным данным) пренебрегают. Как устраняются дефекты модели КПП, мы поговорим ниже.

Как правило, найти такую траекторию аналитически при исследовании систем методами фазовой плоскости не удается. Для ее поиска требуется численно решать систему ОДУ (5). Однако очевидно, что численно эту задачу решить нам не удастся.

Действительно, даже если мы выберем начальные данные (данные Коши) на траектории, соответствующей сепаратриссе седла, то изза ошибок округления в численном счете мы немного отклонимся от данной линии, а затем по другой траектории мы начнем удаляться от сепаратриссы. Проблема численного поиска траектории решается путем выбора устойчивого направления интегрирования.

Заменим в системе (5) знак у независимой переменной t. Тогда система (5) перейдет в n = z, V aK z = z + n.

D D В качестве простого упражнения читатель может проверить, что неустойчивый узел системы (5) соответствует устойчивому узлу (5а), а седло перешло в седло.

Выбор устойчивого направления интегрирования теперь очевиден.

Мы выберем данные Коши в окрестности сепаратриссы седла, и придем вдоль сепаратриссы в окрестность устойчивого узла, а ошибки округления при таком способе интегрирования системы заведомо будут уменьшаться.

Посмотрим, как на фазовой плоскости проводится исследование безразмерного уравнения КПП. При переходе к переменным бегущей волны имеем на фазовой плоскости n = z, z = vz n.

Характеристическое уравнение есть 2 v + = 0, его корни v ± v 2 4 1, 2 = Мы сразу получаем условие того, что особая точка (0, 0) будет неустойчивым узлом: v = 2. Теперь вернемся к размерной записи.

Вспомним, что размерность скорости есть LT–1, и домножим выражение для безразмерной скорости на выбранные нами характерные масштабы:

1 a V = 2 LT 1 = 2 = 2 aKD, DK D K что совпадает с полученным ранее размерным выражением.

В чем преимущество безразмерной записи? В простом случае получается более простое характеристическое уравнение, корни его будут зависеть лишь от одного безразмерного параметра. Решение уравнения несет больше информации, так как одному решению безразмерного уравнения соответствует целый набор решений исходного с различными значениями мальтузианского параметра и коэффициента диффузии.

Отметим также, что при выполнении условия v 2 особая точка системы ОДУ на фазовой плоскости также будет неустойчивым узлом, и будет существовать траектория, соединяющая узел и седло. Таким образом, полученное выше выражение для скорости волны переключения для уравнения КПП дает минимально возможную скорость распространения данной волны. Как правило, в реальных вычислениях при решении уравнений в частных производных реализуется именно минимальное значение скорости распространения такой волны [21]. Это связано с тем, что существующие решения с другим значением скорости оказываются неустойчивыми.

Неединственность решения в виде бегущей волны является другим существенным недостатком модели КПП. Этот дефект математической модели также может быть исправлен (причем значительно легче, чем асимптотический характер стремления решений к предельным значениям).

Следующая математическая модель, играющая роль базовой в популяционной экологии, возникла в работе Я.Б. Зельдовича и Д.А. Франк-Каменецкого (модель ЗФК) для описания процесса горения бикфордова шнура. Уравнение модели в размерном виде можно записать как 2n n = D 2 + an(n b)( K n).

t x Будем считать, что 0 b K. В первоначальном варианте переменная n имела смысл температуры горящей среды, b — некоторое пороговое значение — температура воспламенения.

Очевидно, что уравнению (6) можно придать и очевидный экологический смысл — оно описывает во времени и пространстве динамику популяции типа Олли, о популяции типа Олли смотри [23]. Уравнение (6) также приводится к безразмерному виду, но безразмерное уравнение зависит уже от двух безразмерных параметров (в уравнении ЗФК число параметров увеличилось на единицу по сравнению с моделью КПП, но число параметров с независимой размерностью не изменилось).

Один из возможных вариантов безразмерной записи уравнения

ЗФК имеет вид:

n 2 n = + n(n )(1 n).

t x 2 Оценки для характерных длин и скоростей на основе теории размерности мы предоставляем получить читателю в качестве упражнения.

Для исследования методами фазовой плоскости используем безразмерную форму записи (6а).

Вводя переменную бегущей волны по формуле = Vt x, здесь V — неизвестный параметр, подлежащий определению при решении задачи, получим нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка:

Vn = n + n(n )(1 n).

В отличие от уравнения (2.5), последнее уравнение имеет на фазовой плоскости уже три состояния равновесия. Это точки (0, 0), (, 0), (1,0). Легко исследовать характер этих особых точек. Точка (0, 0) — устойчивый узел. Точка (1, 0) тоже является устойчивым узлом. Так как точка (, 0) лежит между двумя узлами на одной с ними изоклине, то она обязана являться седлом.

Такая система с двумя устойчивыми положениями равновесия, разделенных седлом, в литературе иногда называется триггерной (триггерного типа). В триггерной системе мы впервые сталкиваемся с явлением, которое отсутствовало в модели КПП — условием пороговости. Вспоминая первоначальный смысл уравнения ЗФК, легко понять, что в (6а) играет смысл температуры воспламенения. Если шнур нагрет до этой температуры или более высокой, он вспыхивает, в противном случае температура падает до температуры окружающей среды, процесс горения не начинается.

Если мы придерживаемся популяционного толкования (6а), то — нижняя критическая численность популяции (пороговое значение).

Если численность популяции подпороговая, то все особи за конечное время вымрут, если надпороговая, то в системе начнется распространение волны переключения.

О свойствах популяционных математических моделей с нелинейной подвижностью (на примере одного уравнения) Приведенные в первом разделе квазилинейные математические модели не принадлежат к числу базовых, их исследование началось сравнительно недавно. Исходя из предположений относительно связи локальной плотности популяции с миграционными процессами, рассмотрим модель u одной популяции с миграционным потоком вида W = u, где x u – численность популяции, а 0.

Математическая модель при сделанных предположениях имеет следующий вид:

u u = + f (u) u t x x Возникает естественный вопрос, какие решения существуют при различных функциях f(u), описывающих демографические процессы. Рассмотрим, как и выше, три типа функциональных зависимостей: f ( u ) = a u, f (u) = a u u 2, f (u) = a u u которые легко интерпретируются следующим образом. Первая зависимость соответствует “мальтузианскому” типу демографических процессов, вторая -- “Ферхьюльстовскому” (логистическая популяция), а третья -- популяции «типа Олли»

(1). Общим элементом такого рода описания является наличие линейного источника. А в описание популяций типа Ферхьюльста и Олли присутствуют также нелинейные стоки.

Для качественного исследования уравнений мы использовали следующую общую схему. С помощью преобразования u = V exp( t ), d = exp( a t ) dt во всех уравнениях удается избавиться от линейного источника. При этом сток, возможно, становится неавтономным. Дальнейшее исследование зависит от соотношения показателей степени в слагаемых правой части уравнений.

–  –  –

V V = V x x t Точные решения этого уравнения известны. Они аналогичны решениям задачи о выделении тепла от мгновенного точечного источника [4]. В экологической интерпретации это соответствует развитию вспышки численности популяции при условии, что первоначально он занимал небольшой ареал (много меньший, чем характерный пространственный размер задачи): u ( x,0) = u0 ( x ) Решение исходной задачи имеет вид

–  –  –

Некоторые свойства уравнения нелинейной диффузии с кинетикой Ферхьюльста Рассмотрим уравнение, описывающее пространственновременную динамику логистической популяции u u + a u (1 u) = u t x x где 0.

Это уравнение имеет два пространственно однородных стационарных решения: u = 0 и u = 1. Рассмотрим уравнение с граничными условиями u(--) = 1, u(+) = 0. Переходя к переменным бегущей волны = x + bt, получим (u u ) b u + a u (1 u) = 0 В [23] указано нелинейное преобразование вида d( ( u) ) u u = d u( ) = ( ) переводящее монотонные решения (8) в монотонные решения уравнения b + a +1 (1 ) = 0 Преобразование сохраняет поток плотности вида (биомассы) при нелинейном преобразовании координат. Здесь (u) – функция, обратная к монотонному решению u(), при этом -- монотонные решения (6). Смысл уравнения (6) очевиден - оно получается при переходе к переменным бегущей волны в уравнении популяции “типа Олли”, где подвижность особей (радиус индивидуальной активности) постоянен.

В случае целых возможно исследовать (6) методами фазовой плоскости, при этом сложное положение равновесия (0,0), как правило, оказывается седло-узлом. Траектория, выходящая из точки (0,0) и заканчивающаяся в (0,1), существует при единственном значении скорости. Таким образом, введение в уравнение, описывающее распространение волн в логистической популяции, нелинейной подвижности особей эквивалентно введению “эффекта Олли” в реакционную часть модели типа “реакция - диффузия” с постоянной подвижностью.

Нелинейный коэффициент диффузии в пространственной части модели, как и “эффект Олли” во временной динамике при постоянной подвижности особей (радиусе индивидуальной активности), устраняют один принципиальный недостаток модели Колмогорова - Петровского - Пискунова – неоднозначность в определении скорости волны. Зависимости подвижности от плотности популяции устраняет и другой принципиальный недостаток модели типа “реакция-диффузия”, а именно бесконечный” размер популяции. 1.3. О решениях уравнения (3) с кинетикой Ферхьюльста в случае =1.

Положим в (3) =1. В этом случае возможно найти автомодельное решение задачи о развитии вспышки численности популяции и проанализировать его качественные свойства.

Известно, что автомодельные решения хорошо описывают качественное поведение решений физических задач на больших временах [4]. Покажем также, что учет самоограничения (даже при очень большом количестве ресурса) качественно меняет поведение решения уравнения по сравнению с кинетикой Мальтуса.

Рассмотрим следующее уравнение:

u u 2 = + au u u t x x

–  –  –

Покажем, что (8) имеет решение в виде “бегущей волны переключения” из тривиального стационарного состояния (g = 0) в состояние g = 1/ при единственном значении параметра k.

Действительно, замена g = f/; = преобразует (8):

( f f ) + k f + f (1 f ) = 0 При применении к (8а) указанного выше нелинейного преобразования монотонное решение (8.а) переходит в монотонное решение уравнения

–  –  –

Проанализируем сценарий развития вспышки в случае, когда a, начальная численность невелика, К 1.

Тогда при временах t:

t (lnK)/a первым слагаемым в выражении под логарифмом

–  –  –

можно пренебречь. Аргумент функции f1 в (9, 10) не зависит от времени. На этом этапе происходит быстрый (экспоненциальный) рост численности, “застывшей” по пространству популяции. При at ln( K ), рост численности в центре “средних” временах вспышки происходит по “логистическому” закону, а границы ареала начинают медленно увеличиваться. Наконец, на третьем этапе развития вспышки, которая соответствует большим временам at lnK, в центре ареала устанавливается равновесная плотность, определяющаяся популяционной емкостью среды. Формулы (9) и (10) переходят в пределе в формулы вида ( ) a u+ f1 2 a t x, описывающие распространение волны переключения из одного пространственно-однородного решения системы в другое. Отметим также, что оценка максимальной скорости распространения возмущений в данной задаче совпадает с оценкой скорости волны Зельдовича–Франк-Каменецкого.

Вспышку, процесс развития которой аналогичен описанному выше, будем называть “ограниченной”. Качественно развитие ограниченной вспышки показано на рисунке, при этом нижняя кривая — переход от “малых” времен к “средним”, а верхняя кривая отвечает “ большим” временам.

О решениях уравнения нелинейной диффузии с кинетикой “типа Олли” Рассмотрим уравнение u u = + au u u t x x В случае =1 для описания вспышки численности удается найти аналогичную асимптотическую склейку автомодельных решений.

Численные расчеты показывают, что и в случае произвольных коэффициентов, качественные свойства решений не изменяются, то есть дополнительное включение во временную динамику “эффекта Олли” не приводит к появлению дополнительных свойств по сравнению с кинетикой Ферхьюльста.

В системах с кинетикой типа Олли при + 1 развивается ограниченная вспышка.

Об автомодельных точных решениях Подробно об автомодельных решениях указанных типов уравнений см. [4]. Ряд задач по автомодельности вынесен в Задачи в конце данного раздела.

Поиск автомодельной переменной

–  –  –

и скейлинговую функцию u = Ct 1 (1) v() В ряде задач в качестве решений представляют интерес быстро растущие решения. В рамках данной модели автомодельные решения получаются обладающими интересным свойством — они существуют вплоть до определенного момента времени, называемым временем обострения. При стремлении ко времени обострения максимум решения стремится к бесконечности.

Для получения автомодельных решение в режиме с обострением (blow up) вместо переменной следует использовать переменную = x(tb t )0.5*(1 1), со скейлингом u = C (tb t ) 1 (1) v().

–  –  –

вычисляемое на верхнем слое, разностное уравнение разрешается относительно u m+1. Схема безусловно устойчива, что является ее n достоинством при реализации бегущего счета, однако она имеет порядок аппроксимации O (, h 2, / h 2 ), т.е. схема является условно аппроксимирующей.

3. Выяснить, является ли явная четырехточечная схема um+1 um n n = a xxu n монотонной. Монотонные разностные схемы (по Фридрихсу) — это схемы, которые при записи в виде, разрешенном относительно um+1 при значениях сеточной n

–  –  –

Ответ. Простое исследование на аппроксимацию данной схемы путем разложения проекции точного решения в ряд Тейлора дает O(2, h 2 ). Схема безусловно устойчива. Кроме того, схема монотонна.

–  –  –

u (+, t ) = 0, u (0, t ) = ct1 /, u (x,0) = 0 представляет собой бегущую волну, распространяющуюся с конечной скоростью, причем при 0 на фронте волны решение терпит разрыв первой производной (т. е. является обобщенным решением).

Предложить какие-нибудь разностные схемы для численного решения данной задачи, например, применив интегроинтерполяционный метод. Почему в этом случае нельзя переписать уравнение в виде 2u u u = au 2 + au 1, x t x продифференцировав правую часть по x, а затем заменить производные их разностными аппроксимациями?

Решение.

Построим решение задачи в переменных бегущей волны:

u = u () = u ( x vt ), ( x vt 0), u 0.

(6) Подставив (6) в исходное уравнение, получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:

–  –  –

Подробнее про разностные схемы для аппроксимации уравнения (5.3.1) в [4, с. 441–463].

Задачи для самостоятельного решения

1. Используя условие устойчивости Куранта–Фридрихса– Леви, определить, какие из разностных схем, шаблоны которых приведены ниже, не будут устойчивыми:

–  –  –

Выражения 1)–4) суть некоторые аппроксимации au, взятые на предыдущем слое по времени между узлами u m, u m +1. Какой из вариантов предпочтительнее? Почему не работают в окрестности фронта средние гармонические — 3) и 4)?

Реализовать схемы 1) и 2) на ЭВМ, сравнить численное решение с точным (см. выше). Почему при больших числах Куранта наблюдается отставание фронта волны в численном решении от точного значения? [9]

–  –  –

с дополнительным требованием f f | = l = 0.

3. Задавая f () при t = 0 в качестве начальных условий для (10), сравните поведение численного решения с автомодельным. (Так как известны g(t), (t) и f (), то тем самым найдено u(x, t) t 0 t tf ). Что происходит при t tf ?

–  –  –

причем a + d 0, a d – b c 0. При этих условиях особая точка (0, 0) системы u = au + bv, v = cu + dv устойчива. Пусть, без ограничения общности, a 0.

1. Найти условие, когда внесение в систему диффузии приводит к потере устойчивости однородного стационарного решения.

Указание. Рассмотреть преобразование Фурье по пространственной переменной. Исследовать на устойчивость особые точки получившейся системы ОДУ.

2. Подобрав коэффициенты a, b, c, d и D1, D2, удовлетворяющие условиям, найденным в пункте 1, получить при численном счете так называемые структуры Тьюринга. Под структурой Тьюринга здесь понимается пространственнонеоднородное решение с волновым числом k, таким, что (Re ) Re (k 2 ) = 0; =0 при записи решения в виде (k 2 ) u c1 t ikx = e. В случае линейной задачи эти структуры будут v c возрастать по амплитуде при t, в случае нелинейного уравнения (следующая задача) бесконечный рост становится невозможным, структура стабилизируется за счет нелинейности.

–  –  –

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. Уравнения математической физики. — М., Изд-во МГУ, 2002.

2. В. С. Владимиров. Уравнения математической физики. — М.:

Наука, 1984.

3. С. Л. Соболев. Уравнения математической физики. — М.:

Наука, 1992.

4. А. А. Самарский., В. А. Галактионов, С. П. Курдюмов, А. П. Михайлов. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. — М.: Наука, 1987.

— 480 с.

5. Т. С. Ахромеева, С. П. Курдюмов, Г. Г. Малинецкий, А. А. Самарский. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. — М.: Наука, 1992. — 544 с.

6. С. П. Курдюмов, Е. С. Куркина. Тепловые структуры в среде с нелинейной теплопроводностью. / В кн.: Будущее прикладной математики. Лекции для молодых исследователей. Под ред.

Г. Г. Малинецкого. — М.: Едиториал УРСС, 2005. — 512 с.

7. Н. Н. Яненко. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. — Новосибирск: Наука, 1967 — 196 с.

8. С. К. Годунов, В. С. Рябенький. Разностные схемы, введение в теорию. — М.: Наука, 1977. — 400 с.

9. Р. П. Федоренко. Введение в вычислительную физику — Долгопрудный, Издательский дом «Интеллект», 2008. — 526 с.

10. А. А. Самарский. Теория разностных схем — М.: Наука, 1983.

— 656 с.

11. А. А. Самарский, П. Н. Вабищевич, Г. П. Матус. Разностные схемы с операторными множителями. — Минск, 1998. — 441 с.

12. Г. И. Марчук. Методы расщепления. — М: Наука, 1988. — 263 с.

13. Д. Андерсон, Дж. Таннехилл, Р. Плетчер. Вычислительная гидромеханика и теплообмен: в 2-х т., Т.1: Пер. с англ. — М.: Мир, 1990. — 384 с.

14. П. С. Ланда Нелинейные колебания и волны. — М.: Наука– Физматлит, 1997. — 496 с.

15. Э. Хайрер, С. Нернсет, Г. Ваннер. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. — М.: Мир, 1990. — 512 с.

16. Н.Н. Калиткин Численные методы.

17. N. W. Timofeeff-Ressovsky. Mutation and Geographical Variations // The New Systematics. — Oxford: Oxford Univ. Press, 1940.

18. Л. И. Седов. Методы подобия и размерностей в механике. — М.: Наука, 1988. — 736 с.

19. В. М. Уроев. Уравнения математической физики. — М.: ИФ “Яуза”, 1998. — 373 с.

20. А. Н. Колмогоров, И. Г. Петровский, И. С. Пискунов.

Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием вещества, и его применение к одной биологической проблеме. // Бюлл. МГУ, Серия А, 1937, т. 1, Вып. 6, с. 1–25.

21. Ю. М. Свирежев. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. — М.: Наука, 1987 — 368 с.

22. Г. Ю. Ризниченко. Лекции по математическим моделям в биологии. Часть 1. — Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, 2002. — 232 с.

23. В. П. Маслов



Похожие работы:

«Fronius International GmbH Паспорт Безопасности Вещества в соответствии с Регламентом (ЕС) № 1907/2006 Горелка охлаждающей жидкости INDOOR Дата печати: 06.10.2014 страница 1 из 7 РАЗДЕЛ 1: Идентификация химической...»

«В сообщении представлены данные о взаимосвязи строения, люминесцентных, механолюминесцентных, термохромных, оптических хемосенсорных и фотохимических свойств координационных соединений РЗЭ, соединений галогенидов Te(IV) и Sb(III) с внешнесферными азотсодержащими катионами; -д...»

«УТВЕРЖДАЮ: СОГЛАСОВАНО: РАССМОТРЕНО: Директор МОУ ИРМО Зам. директора по УВР на заседании МО "Большереченская СОШ" _ _ _Н.В.Сычва, приказ №_ от Н.В.Войтович Протокол № _ "_"20г. ""_20_г. ""20г. Рук-ль МО_ МОУ ИРМО "Больше...»

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Уральский государственный университет им. А.М. Горького" ИОНЦ "Нанотехнологии и перспективные материалы" Химический факультет Кафедра физическо...»

«Санкт-Петербургский научный форум Наука и общество Наноструктуры: физика и технологии IX Петербургская встреча лауреатов нобелевской премии Программа и учаСтники 22–26 июня • 2015 • Санкт-Петербург • россия Первая Санкт-Петербургская встреча н...»

«Летняя школа "Современная математика" Дубна, июль 2014 Е. Ю. Смирнов Три взгляда на ацтекский бриллиант Москва Издательство МЦНМО УДК 519.148 ББК 22.176 С50 Смирнов Е. Ю. С50 Три взгляда на ацтекский бриллиант. — М.: МЦНМО, 2015. — 48 с. ISBN 978-5-4439-0279-1 Сколькими способами можно разбить "ацтекский бриллиант" (...»

«Мурадова Айтан Галандар кызы ПОЛУЧЕНИЕ НАНОЧАСТИЦ ОКСИДОВ ЖЕЛЕЗА C ЗАДАННЫМ РАЗМЕРОМ ДЛЯ ТЕРМОРЕГУЛИРУЮЩИХ ПОКРЫТИЙ И МАГНИТНЫХ ЖИДКОСТЕЙ 02.00.11 – Коллоидная химия АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степ...»

«Николаевский Станислав Александрович МЕТАЛЛОХЕЛАТЫ БИИ ТРИДЕНТАТНЫХ АЗОМЕТИНОВЫХ ЛИГАНДОВ 02.00.04 – физическая химия АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата химических наук Ростов-на-Дону – 2010 Работа выполнена в НИИ физической и органической химии Южного федерал...»

«Известия ТИНРО 2014 Том 178 УДК 556.55(235.47) Е.Н. Чернова1, 2, В.М. Шулькин1, Е.В. Лысенко1, Т.Н. Луценко1, А.Г. Болдескул1* Тихоокеанский институт географии ДВО РАН, 690041, г. Владивосток, ул. Радио, 7; Дальневосточный федеральный университе...»

«Наименование института: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Научный центр волоконной оптики Российской академии наук (НЦВО РАН) Отчет по основной референтной группе 3 Общая физика Дата формирования отчета: 15.05.2017 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИ...»

«МЕТОД НЕКОГЕРЕНТНОЙ ИНТЕРФЕРОМЕТРИИ ДЛЯ КОНТРОЛЯ КАЧЕСТВА ЗЕРКАЛ ПРЕЦИЗИОННЫХ ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ В.В. Азарова, Т.В. Цветкова Московский государственный институт электроники и математики (ТУ); Научно-исследовательский институт "Полюс" им. М.Ф.Стельмаха HUazarovav@hotbox.ruUH; HUtvc-t@bk.ruU The modern method...»

«Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Сибирский государственный университет путей сообщения" Томский техникум железнодорожного транспорта Органическая химия Учебное пособие Томск 2014г. Одобрено "У...»








 
2017 www.ne.knigi-x.ru - «Бесплатная электронная библиотека - электронные матриалы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.